python数学建模--sympy三维图像绘制

问题引出

在求解二元函数最值的时候，我们不知道自己经过若干个步骤求出的结果是否正确，那么我们该怎么办呢？一种办法就是将这个函数的图像绘制出来
三维图像的作用在于，它不仅能让我们直观的看出待求二元函数在指定区间内的形状，而且对于我们求得的最值以及求极值的步骤有着重要的指导意义

库选择与绘制准备

matplotlib是一个比较基础的专业绘图库，它也可以用来绘制三维图像，但是需要额外导入mpl_toolkits库，在前段时间学习sympy库时注意到了它里面的plotting子模块，里面封装了若干个绘图类，其中的一个plot3d类可以实现三维绘图，而且调用十分方便

注意，sympy中的绘图类仍然使用matplotlib库提供的后端支持，也就是说使用sympy绘图类需要首先安装matplotlib库

plot3d类api简介

plot3d(*args, show=True, **kwargs)

图像绘制与参数说明

同一坐标系内绘制单个图像

plot3d(expr, range_x, range_y, **kwargs)

参数	描述
expr	函数表达式
range_x,range_y	变量x，y的取值区间（默认区间为[-10,10]）

在同一坐标系内绘制双图像（两个二元函数）

plot3d(expr1,expr2, range_x, range_y, **kwargs)

同一坐标系内绘制多个图像（多个二元函数）

plot3d((expr1, range_x, range_y),(expr2, range_x, range_y,) ,...,**kwargs)

关键字参数

参数名	数据类型	描述
nb_of_points_x	int	在该参数处对x取值范围均匀采样
nb_of_points_y	int	在该参数处对y取值范围均匀采样
surface_color	Function which returns a float	绘出图像的颜色
title	str	图像标题
size	(float, float)	图像尺寸

绘图举例

下面例子来自sympy官网

# 单图像
from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot3d
x, y = symbols('x y')
plot3d(x*y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

运行结果

# 双图像
plot3d(x*y, -x*y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

运行结果

# 多图像
plot3d((x**2 + y**2, (x, -5, 5), (y, -5, 5)),
    (x*y, (x, -3, 3), (y, -3, 3)))

运行结果

绘图的案例

读完了plot3d的api，我们尝试解决一些实际问题

三角函数

$$绘制y=sin\sqrt{x^2+y^2},x\in [-5,5],y\in [-5,5]的图像，并找出其最小值对应的坐标$$

代码实现

from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot3d
from sympy import *
x, y = symbols('x y')
plot3d(sin(sqrt(x**2+y**2)),(x, -5, 5), (y, -5, 5))

运行结果

注意看图像窗口的右上角，它代表三维图像上的点，会随着鼠标的指向而发生变化，虽然sympy绘图类不会返回给我们精确地函数最值，但是我们可以通过观察图像、拖动图像来找到函数最值得大概位置，这就是绘制出图像的意义所在

另一个三角函数

实际上，这篇博客的灵感来源于笔者最近在学习的模拟退火算法，该算法的其中一个应用方向是求带约束的二元函数极值，由于参数设置等的不同，导致对于同一个二元函数运行同样的程序，每次得到的函数极值各不相同，但是笔者也不知道哪次得到的极值是正确的，然后看到了这篇博客

用模拟退火算法求解带约束的二元函数极值问题之二：用MATLAB绘图验证

实际上很多时候，可视化能够解决很多想象不到的问题，于是笔者也想要尝试一下使用python进行可视化，这个例子中仍然使用原博客中的二元函数

$$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{6x}{2+x^2+y^2}+5sin(x)+3cos(y)+50 \\ x\in [-5,5]，y\in [-5,5] \end{gathered}$$

代码实现

from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot3d
from sympy import *
x, y = symbols('x y')
expr=6*x/(2+x**2+y**2)+5*sin(x)+3*cos(y)+50
plot3d(expr,(x, -5, 5), (y, -5, 5))

运行结果

从上面的图中我们可以看出该二元函数的函数值范围大约在[42.5,60]之间，这就为我们的算法求解提供了一个方向