格理论的基础知识

格理论的基础知识

（一）对格的整体认识

1.直观认识

• 物理意义：高维空间中排列规律的点阵
• 具象表达：（如下图：晶格，摘自2012BIU密码学冬令营ppt）
  

2.历史简述

• 19世纪早期，主要从数学角度研究格，基本未考虑其应用意义
• 1801年从高斯开始，Hermite（1850）、Minkowski（1896）对推动格的研究贡献巨大
• 往后，LLL算法——主要用于求格中的近似最短向量以及实数域上分解多项式

3.密码学与格理论

（1）格在密码学上的运用

• 设计算法：后量子密码学
• 破解算法：如LLL算法破解基于背包的密码学系统

（2）研究价值

• 安全性高（可证明安全）
• 可抵御量子计算机攻击（格点移动难题——格密码学的安全核心，任意移动一个格点，很难从计算上求得是从哪个格点移动得来的）
• 线性结构速度快，适用于小型电子设备，计算开销小
• 与传统密码学的比较
  

（二）从数学角度定义格

1.数学定义

• 从线性代数角度（最直观反应其代数结构）
  
  这里要注意的是，格的基并不是唯一的，不同的基也可以生成同一个格，如下图（两组不同的向量生成了同一个格）：
  Problem：不同的基如何生成同一个格？
  
• 群论定义（可以认为是几何解释，与代数定义等价）
  

2.格的生成

解决之前提出的问题，满足何种条件的不同的基可以生成相同的格。通常有三种方法：

• 交换基向量的次序
• 取相反向量
• 一个向量与另一个向量整数倍的加和
  注意：不可以直接乘某一向量的倍数，这样会改变格点的密度，得到的格不等价
  

3.格的基本区域（重要）

（1）数学定义

（2）几何理解

• 数学定义较为抽象，我们可以直观地用“周期性”的思想来考虑这个问题：平移这样的一个“基础区域”，我们最终能得到整个格（二维情况下的整个平面）
• 等价表述：把基础区域放于每个格点上，能覆盖整个格平面（这里的平面应该抽象理解）
• 易于理解，同一个基础区域内不存在两个在空间上相同的点
• 基本区域的面积是相等的，与其形状无关
  
  

（三）重要概念（仅列举，后单独更）

1.格的行列式：基础区域的面积

2.连续极小：格L中的最短非零向量

3.Gram-Schmit正交化（线性代数）

4.Minkowski定理

5.可证明安全

6.困难性问题

（仅作个人学习笔记，欢迎大家浏览~）

主要参考资料：
1.2012年BIU密码学冬令营视频
2.《格理论与密码学》周福才
3.MIT：Lattice in Computer Science