董秋仙-1-函数极限连续-3

目录

奇偶性的判断

周期的判断

数列的极限

求极限的各种方法 

分段函数左右极限

连续性证明 

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奇偶性的判断

1. 奇函数
2. 偶函数
3. 偶函数
4. 奇函数
5. 偶函数
6. 偶函数

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周期的判断

1. 非周期函数
2. T=π
3. T=12π
4. T=1

略

解答如下

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数列的极限

证明过程略，反例如下

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求极限的各种方法 

第(10)题

(11)题方法很多，这里只给出两种

第一种是提公因式后利用等价无穷小

第二种是利用拉格朗日中值定理

此外还可以使用加减项等方法，这里略去

下面是(12)的解答

对于本题，书上用的是差分的做法，如下

本题也可由Stolz定理直接得到，很简单，过程略

只证明本题的重要结果，下面的两小问是显然的，证明略去

还是使用Stolz定理即可

使用Stolz定理即可

第二小问需要对阶乘进行放缩。这里需要选择合适的放缩方法

一般来说，常用的阶乘的放缩方法有三种

1. 裂项相消
2. 放缩为等比数列
3. 利用指数函数的泰勒公式

我们这里选取第二种。为何？参考(1)题，等比数列的形式可以将p很自然放缩掉。当式子的一边只含有m时，我们就可以根据其整体小于ε，反解出m的取值范围，从而确定N的取值范围。这正是我们想要的效果

(3)显然就是先把sin()放大为1后，裂项相消，具体过程略

(4)本身就是等比数列形式了，过程略

之前用柯西收敛准则证明过调和级数发散，这里刚好用得上

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分段函数左右极限

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连续性证明 

 

事实上

证明其连续是容易的，关键在于确定函数的形式。要从有理数和无理数两个角度证明。

 仿照上一题的证明过程即可