南鸢北折
南鸢北折

董秋仙-1-函数极限连续-3

目录

奇偶性的判断

周期的判断

数列的极限

求极限的各种方法 

分段函数左右极限

连续性证明 

奇偶性的判断

董秋仙-1-函数极限连续-3_第1张图片

  1. 奇函数
  2. 偶函数
  3. 偶函数
  4. 奇函数
  5. 偶函数
  6. 偶函数

周期的判断

董秋仙-1-函数极限连续-3_第2张图片

  1. 非周期函数
  2. T=π
  3. T=12π
  4. T=1

略

解答如下

数列的极限

证明过程略，反例如下

求极限的各种方法 

第(10)题

董秋仙-1-函数极限连续-3_第3张图片

(11)题方法很多，这里只给出两种

第一种是提公因式后利用等价无穷小

第二种是利用拉格朗日中值定理

此外还可以使用加减项等方法，这里略去

下面是(12)的解答

对于本题，书上用的是差分的做法，如下

董秋仙-1-函数极限连续-3_第4张图片

本题也可由Stolz定理直接得到，很简单，过程略

董秋仙-1-函数极限连续-3_第5张图片

只证明本题的重要结果，下面的两小问是显然的，证明略去

还是使用Stolz定理即可

董秋仙-1-函数极限连续-3_第6张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第7张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第8张图片

使用Stolz定理即可

董秋仙-1-函数极限连续-3_第9张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第10张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第11张图片

第二小问需要对阶乘进行放缩。这里需要选择合适的放缩方法

一般来说，常用的阶乘的放缩方法有三种

  1. 裂项相消
  2. 放缩为等比数列
  3. 利用指数函数的泰勒公式

我们这里选取第二种。为何？参考(1)题，等比数列的形式可以将p很自然放缩掉。当式子的一边只含有m时，我们就可以根据其整体小于ε，反解出m的取值范围，从而确定N的取值范围。这正是我们想要的效果

董秋仙-1-函数极限连续-3_第12张图片

(3)显然就是先把sin()放大为1后，裂项相消，具体过程略

(4)本身就是等比数列形式了，过程略

之前用柯西收敛准则证明过调和级数发散，这里刚好用得上

董秋仙-1-函数极限连续-3_第13张图片

分段函数左右极限

董秋仙-1-函数极限连续-3_第14张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第15张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第16张图片

董秋仙-1-函数极限连续-3_第17张图片

连续性证明 

 董秋仙-1-函数极限连续-3_第18张图片

事实上

证明其连续是容易的，关键在于确定函数的形式。要从有理数和无理数两个角度证明。

 仿照上一题的证明过程即可

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