数据结构 复杂度讲解 时间复杂度 空间复杂度

一、数据结构前言

数据结构：内存中存储管理数据的结构

数据结构和数据库的区别：本质都是存储管理数据

数据结构--在内存中存储管理数据 数据库--在磁盘中存储管理数据

算法：对数据按要求进行某种处理。查找、排序

数据结构和算法的关系：你中有我，我中有你

二、算法的时间复杂度和空间复杂度

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

1.2 算法的复杂度

算法运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 ，因此 衡量一个算法的好坏，一般

是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间， 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义： 算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间

一个算法运行时间跟硬件配置有关，所以同样一个算法是没办法算出准确的时间的

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法

的时间复杂度

                                          N个数                    1000

冒泡排序                        O(N^2)                    100w

快速排序(qsort)             O(N*logN)                1w

找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N) 
{
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N ; ++ i) 
  {
     for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    {
        ++count;
    }
  }
 
   for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 
  {
    ++count; 
  }
    int M = 10;
    while (M--) 
   {
      ++count; 
   }
   printf("%d\n", count);
}

准确的时间复杂度函数式  F(N)=N*N+2*N+10

函数式计算的是算法运行的准确次数，不方便在算法之间进行比较难

2.2 大O的渐进表示法

例如：准确的时间复杂度函数式  F(N)=N*N+2*N+10

N=10           F(N)=130

N=100        F(N)=10210

N=1000      F(N)=1002010

随着N越大，后两项对结果的影响几乎可以忽略不计

大O的渐进表示法：大概估算，方便比较，去掉对结果影响不大的项

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

通俗点说，时间复杂度就是估算它属于哪个量级的算法

2.3常见时间复杂度计算举例

实例 1 ：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N) 
{
   int count = 0;
   for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
   {
       ++count;
   }
   int M = 10;
   while (M--)
   {
     ++count;
   }
   printf("%d\n", count);
}

F(N)=2*N+10

时间复杂度O(N)

实例 2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M) 
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < M; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  for (int k = 0; k < N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

时间复杂度O(N+M)

如果不知道M和N的大小：O(N+M)

如果N远大于M：O(N)

如果M远大于N：O(M)

如果M和N一样大：O(N)或O(M)

实例3 :

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
    ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

常数次，时间复杂度O(1)

实例 4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr：在字符串数组中查找一个字符

while(*str)

{

        if(*str==character)

       return str;

       else   str++;

}

return NULL;

最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

实例 5:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n) 
{
  assert(a);
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
       int exchange = 0;
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
   {
      if (a[i-1] > a[i])
     {
       Swap(&a[i-1], &a[i]);
       exchange = 1;
     }
   }
      if (exchange == 0)
      break;
  }
}

算时间复杂度不能去数循环，这个不一定准确，一定要看算法思想来进行计算

F(N)=N-1+N-2+N+3+...+2+1=(1+N-1)*(N-1)/2

时间复杂度O(N^2)

最好的情况：O(N)不知道有没有序走一次没交换比较N-1次

实例 6:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x) 
{
   assert(a);
   int begin = 0;
   int end = n-1;
   // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
   while (begin <= end)
   {
      int mid = begin + ((end-begin)>>1);
      if (a[mid] < x)
      begin = mid+1;
      else if (a[mid] > x)
      end = mid-1;
      else
      return mid;
   }
   return -1; 
}

最好：O(1)

最坏：找不到或缩小的区间只剩1个值

设数组中N个数N/2/2/2/2/2..../2=1除了几次2就找了几次，设找了x次，所以N除以x次2等于1

2^x=N，x=log2(N)，所以O(logN)

时间复杂度计算的是算法的执行次数，一个执行次数不一定是一条语句，可能是多条语句，但肯定是常数条

因为在文本中不好写对数，而时间复杂度中log以2为底的N经常出现，所以把它简写成logN，其他底数的对数没有简写

实例 7:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N) 
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N; 
}

调用n+1次O(1)，时间复杂度O(N)

实例 8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N) 
{
  if(N < 3)
  return 1;
 
  return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

2^0+2^1+2^2+...+2^(N-2)等比数列求和2^(N-1)-1

实际小于2^(N-1)-1

时间复杂度O(2^N)

空间复杂度O(N)

时间是累积的，空间是不累计可以重复利用

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，而是变量的个数，计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大 O 渐进表示法

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.1 常见空间复杂度计算举例

实例 1 ：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n) 
{
   assert(a);
   for (size_t end = n; end > 0; --end)
   {
      int exchange = 0;
      for (size_t i = 1; i < end; ++i)
      {
           if (a[i-1] > a[i])
           {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
           }
      }
      if (exchange == 0)
      break;
   }
}

end exchange i 3个

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例 2 ：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n) 
{
   if(n==0)
   return NULL;
 
   long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
   fibArray[0] = 0;
   fibArray[1] = 1;
   for (int i = 2; i <= n ; ++i)
   {
       fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
   }
   return fibArray; 
}

动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)

实例 3 ：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N) 
{
  if(N == 0)
  return 1;
 
  return Fac(N-1)*N; 
}

3 递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)

4. 常见复杂度对比