量子力学教程 第2.5章

第2.5章

本章主要讲一些第一章和第二章衔接的内容。

通用不确定性原理（generalized uncertainty principle）

对于可观测量$A$，令$f=(\hat{A}-⟨A⟩)\Psi$，则$A$方差/不确定性为${\sigma }_A^2=⟨f|f⟩$。

对于$B$，令$g$，同样有${\sigma }_B^2=⟨g|g⟩$。

根据柯西施瓦茨不等式，${\sigma }_A^2{\sigma }_B^2=⟨f|f⟩⟨g|g⟩\ge |⟨f|g⟩{|}^2$。

对任意复数$z$，$|z{|}^2=Re(z{)}^2+Im(z{)}^2\ge Im(z{)}^2=[\frac{1}{2i}(z-z^{\ast }){]}^2$。让在$y$轴上面的转下来。

如果$z=⟨f|g⟩$就意味着$|⟨f|g⟩{|}^2\ge [\frac{1}{2i}(⟨f|g⟩-⟨g|f⟩){]}^2$。

又$$\begin{array}{rl}⟨f|g⟩& =⟨(\hat{A}-\bar{A})\Psi |(\hat{B}-\bar{B})\Psi ⟩\\ & =⟨\Psi |(\hat{A}-\bar{A})(\hat{B}-\bar{B})\Psi ⟩中跳公式，见升降算符的性质\\ & =⟨\Psi |\hat{A}\hat{B}\Psi ⟩-\bar{B}⟨\Psi |\hat{A}\Psi ⟩-\bar{A}⟨\Psi |\hat{B}\Psi ⟩+\bar{A}\bar{B}⟨\Psi |\Psi ⟩\\ & =\overline{\hat{A}\hat{B}}-\bar{A}\bar{B}\end{array}$$

同样，$⟨g|f⟩=\overline{\hat{B}\hat{A}}-\bar{A}+\bar{B}$。

因此$⟨f|g⟩-⟨g|f⟩=\overline{[\hat{A},\hat{B}]}$。

最后就是$${\sigma }_A^2{\sigma }_B^2\ge {\left(\frac{1}{2i}\overline{[\hat{A},\hat{B}]}\right)}^2$$

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$$⟨f|gh⟩=⟨g^{†}f|h⟩$$