量子力学教程 第2.5章

第2.5章

本章主要讲一些第一章和第二章衔接的内容。

通用不确定性原理(generalized uncertainty principle)

对于可观测量 A A A,令 f = ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ f=(\hat A-\lang A\rang)\Psi f=(A^A⟩)Ψ,则 A A A方差/不确定性为 σ A 2 = ⟨ f ∣ f ⟩ \sigma_A^2=\lang f|f\rang σA2=ff

对于 B B B,令 g g g,同样有 σ B 2 = ⟨ g ∣ g ⟩ \sigma_B^2=\lang g|g\rang σB2=gg

根据柯西施瓦茨不等式, σ A 2 σ B 2 = ⟨ f ∣ f ⟩ ⟨ g ∣ g ⟩ ≥ ∣ ⟨ f ∣ g ⟩ ∣ 2 \sigma_A^2\sigma_B^2=\lang f|f\rang\lang g|g\rang\ge|\lang f|g\rang|^2 σA2σB2=ffggfg2

对任意复数 z z z ∣ z ∣ 2 = R e ( z ) 2 + I m ( z ) 2 ≥ I m ( z ) 2 = [ 1 2 i ( z − z ∗ ) ] 2 |z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2\ge Im(z)^2=[\frac{1}{2i}(z-z^*)]^2 z2=Re(z)2+Im(z)2Im(z)2=[2i1(zz)]2。让在 y y y轴上面的转下来。

如果 z = ⟨ f ∣ g ⟩ z=\lang f|g\rang z=fg就意味着 ∣ ⟨ f ∣ g ⟩ ∣ 2 ≥ [ 1 2 i ( ⟨ f ∣ g ⟩ − ⟨ g ∣ f ⟩ ) ] 2 |\lang f|g\rang|^2\ge[\frac{1}{2i}(\lang f|g\rang-\lang g|f\rang)]^2 fg2[2i1(⟨fggf⟩)]2

⟨ f ∣ g ⟩ = ⟨ ( A ^ − A ˉ ) Ψ ∣ ( B ^ − B ˉ ) Ψ ⟩ = ⟨ Ψ ∣ ( A ^ − A ˉ ) ( B ^ − B ˉ ) Ψ ⟩ 中跳公式,见升降算符的性质 = ⟨ Ψ ∣ A ^ B ^ Ψ ⟩ − B ˉ ⟨ Ψ ∣ A ^ Ψ ⟩ − A ˉ ⟨ Ψ ∣ B ^ Ψ ⟩ + A ˉ B ˉ ⟨ Ψ ∣ Ψ ⟩ = A ^ B ^ ‾ − A ˉ B ˉ \begin{aligned}\lang f|g\rang&=\lang(\hat A-\bar A)\Psi|(\hat B-\bar B)\Psi\rang \\&=\lang \Psi|(\hat A-\bar A)(\hat B-\bar B)\Psi\rang \quad 中跳公式,见升降算符的性质 \\&=\lang \Psi|\hat A\hat B\Psi\rang-\bar B\lang \Psi|\hat A\Psi\rang-\bar A\lang \Psi|\hat B\Psi\rang+\bar A\bar B\lang \Psi|\Psi\rang \\&=\overline{\hat A\hat B}-\bar A\bar B \end{aligned} fg=⟨(A^Aˉ)Ψ∣(B^Bˉ)Ψ=Ψ∣(A^Aˉ)(B^Bˉ)Ψ中跳公式,见升降算符的性质=Ψ∣A^B^ΨBˉΨ∣A^ΨAˉΨ∣B^Ψ+AˉBˉΨ∣Ψ=A^B^AˉBˉ

同样, ⟨ g ∣ f ⟩ = B ^ A ^ ‾ − A ˉ + B ˉ \lang g|f\rang=\overline{\hat B\hat A}-\bar A+\bar B gf=B^A^Aˉ+Bˉ

因此 ⟨ f ∣ g ⟩ − ⟨ g ∣ f ⟩ = [ A ^ , B ^ ] ‾ \lang f|g\rang-\lang g|f\rang=\overline{[\hat A,\hat B]} fggf=[A^,B^]

最后就是 σ A 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i [ A ^ , B ^ ] ‾ ) 2 \sigma_A^2\sigma_B^2\ge \left(\frac{1}{2i}\overline{[\hat A,\hat B]}\right)^2 σA2σB2(2i1[A^,B^])2


⟨ f ∣ g h ⟩ = ⟨ g † f ∣ h ⟩ \lang f|gh\rang=\lang g^\dagger f|h\rang fgh=gfh

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