数理统计之 置信区间2

目录

    1： 枢轴量

    2： 单个正态总体均值的区间估计  已知

    3： 单个正态总体均值的区间估计  未知

    4： 例子

 

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一   枢轴量

     1.1  目的： 给定未知变量,以及样本

      求出置信水平为的置信区间

    1.2  方法：

            1： 随机变量G,G的分布已知

            2： 找到a

            G是关于和样本的函数

            3： 从a

                      就是参数的双侧置信区间

                        称为枢轴量

    1.4 例： 为样本，总体,为未知参数

要估计u

  解：

       ,因为有未知参数,所有不是枢轴量

   

       ， 分布已知，只含有估计量u和样本，所以是枢轴量

 1.5 由于a,b 可能有很多，如何取a,b

         1: Neyman 原则： 求a,b 使得区间长度最短

         2：如果最優解不存在，對於連續總體，長取 

         3：從 ，解出      

           如果是双侧置信区间，有如下性质

            是置信区间的下限

             是置信区间的上限   

    

---

二 单个正态总体的均值区间估计  已知

    假设,为样本，为样本均值和方差，置信度为

   2.1 已知

          因为     

           设常数a,b

                    

           等价于

                  

            因为对称

        

            所以 置信区间长度

              

          其中 为上分位数，查正态分布表的时候,得到分位数n

            

        当置信度增大的时候，区间长度L也增大，精度下降

         所以双侧置信区间为

         

        单侧置信区间下限为   

        

        注：

              :

              

        同理单侧置信上限为：

         

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三  单个正态总体的均值区间估计  未知

          

 

   令   -a

         

         单侧置信区间下限为 

          单侧置信区间上限为 

 

四  例子

      4.1 设新生儿童体重服从正态分布,从某个医院随机抽取16个儿童，体重如下

      data = [3200,3050,2600,3530,\
            3840,4450,2900,4180,\
            2150,2650,2750,3450,\
            2830,3730,3620,2270]

      求置信区间为95%的双侧置信区间

     解：

      1:   如果未知，服从t（n-1）分布

        置信区间为： 

      [ ,  ]

     

      带入 ： 置信区间下限2845.38   置信区间上限3554.62

        

      2: 如果,方差已知，则服从正态分布

      置信区间为

       

        

       置信区间下限2955.00   置信区间上限3445.00

    

import numpy as np
import scipy.stats as ss
from scipy.stats import norm

'''
    获取分位数值a,t分布和正态分布都是对称函数
Args:
    n: 自由度,t分布才有
    alpha: 累积积分，p(x>a)=alpha
    Ftype: 0:符合正态分布  1： t分布
'''
def GetQuantile(tp=1,n=15,alpha=0.025):
    
    if 1==tp:
        print("\n t 分布")
        normt = ss.t(n)
        x = -normt.ppf(alpha)## 累积分布概率计算反函数
    else:
        print("\n 标准正太分布 ")
        x= -norm.ppf(0.025,loc=0,scale=1)
    
    print("\n x %6.3f"%x) 
    return x
    

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Apr 23 16:26:20 2021

@author: chengxf2
"""

import numpy as np

def ConfidenceInterval(sigma=-1):
 
    data = [3200,3050,2600,3530,\
            3840,4450,2900,4180,\
            2150,2650,2750,3450,\
            2830,3730,3620,2270]
    
    n = len(data)
    u =np.mean(data)
    s = 0.0
    for x in data:
        s+= np.power(x-u,2)
    
    sd = np.sqrt(s/(n-1))
    print("\n 样本均值 ",u, "\t 样本方差%6.2f"%sd )
    
    if sigma == -1: #t 分布      
        Quantile = 2.1315
        std = sd #样本差
    else:
        Quantile = 1.96 #分位数,查表可以得到
        std= sigma #方差
        
        
    
   
    
   

    print("\n u ",u,"\t n: ",n)
    low = u-Quantile*(std/np.sqrt(n))
    up = u +Quantile*(std/np.sqrt(n))
    print("\n 置信区间下限%6.2f"%low, "\t 置信区间上限%6.2f"%up)
    
ConfidenceInterval(-1)

  4.2 某种样本的寿命服从正态分布，现在随机抽取10个，样本方差S=0.92,样本均值,

求u得置信水平为95%的单侧置信区间下限

   解： 

             

            

'''
單測區間估計
'''
def GetM():
    quantile= GetQuantile(1,0.05,9) 
    print("\n 分位数",quantile)
    xmean = 5.78 #樣本均值
    s= 0.92 #方差  
    n = 10 #樣本總數
    
    low = xmean- (s/np.sqrt(n))*quantile
    print("\n low %5.2f"%low)

   输出 5.25

4.3   1500人，身高高于180的，有375人，求180cm比例P的置信水平为95%的置信区间

        解：

                

                

                近似区间

              

            

'''
單測區間估計
'''
def GetM():
    quantile= GetQuantile(1,0.025,1500-1) 
    print("\n 分位数",quantile)
    xmean = 0.25#樣本均值
    s=  np.sqrt(0.1875) #方差  
    n = 1500 #樣本總數
    
    low = xmean- (s/np.sqrt(n))*quantile
    up = xmean+ (s/np.sqrt(n))*quantile
    print("\n 下限 %5.3f"%low)
    print("\n 上限 %5.3f"%up)
===========
 t 分布 1499

 x  1.962

 分位数 1.9615478106169353

 下限 0.228

 上限 0.272