最短路算法详解（Dijkstra/SPFA/Floyd）
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一、Dijkstra
使用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2),用优先队列的复杂度为O((m+n)logn)近似为O(mlogn)
(一) 过程
每次选择一个未访问过的到已经访问过（标记为Known）的所有点的集合的最短边，并用这个点进行更新，过程如下：
Dv为最短路，而Pv为前面的顶点。
1. 初始
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
F |
0 |
0 |
| V2 |
F |
∞ |
0 |
| V3 |
F |
∞ |
0 |
| V4 |
F |
∞ |
0 |
| V5 |
F |
∞ |
0 |
| V6 |
F |
∞ |
0 |
| V7 |
F |
∞ |
0 |
2. 在v1被标记为已知后的表
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
F |
2 |
V1 |
| V3 |
F |
∞ |
0 |
| V4 |
F |
1 |
V1 |
| V5 |
F |
∞ |
0 |
| V6 |
F |
∞ |
0 |
| V7 |
F |
∞ |
0 |
3. 下一步选取v4并且标记为known，顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点，而他们实际上都需要调整。如表所示:
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
F |
2 |
V1 |
| V3 |
F |
3 |
V4 |
| V4 |
T |
1 |
V1 |
| V5 |
F |
3 |
V4 |
| V6 |
F |
9 |
V4 |
| V7 |
F |
5 |
V4 |
4. 接下来选取v2,v4是邻接点，但已经是known的，不需要调整，v5是邻接的点但不做调整，因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
T |
2 |
V1 |
| V3 |
F |
3 |
V4 |
| V4 |
T |
1 |
V1 |
| V5 |
F |
3 |
V4 |
| V6 |
F |
9 |
V4 |
| V7 |
F |
5 |
V4 |
5. 接下来选取v5，值为3，v7 3+6>5不需调整，然后选取v3，对v6的距离下调到3+5=8
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
T |
2 |
V1 |
| V3 |
T |
3 |
V4 |
| V4 |
T |
1 |
V1 |
| V5 |
T |
3 |
V4 |
| V6 |
F |
8 |
V3 |
| V7 |
F |
5 |
V4 |
6. 再选下一个顶点是v7，v6变为5+1=6
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
T |
2 |
V1 |
| V3 |
T |
3 |
V4 |
| V4 |
T |
1 |
V1 |
| V5 |
T |
3 |
V4 |
| V6 |
F |
6 |
V7 |
| V7 |
T |
5 |
V4 |
7. 最后选取v6
| V |
Known |
Dv |
Pv |
| V1 |
T |
0 |
0 |
| V2 |
T |
2 |
V1 |
| V3 |
T |
3 |
V4 |
| V4 |
T |
1 |
V1 |
| V5 |
T |
3 |
V4 |
| V6 |
T |
6 |
V7 |
| V7 |
T |
5 |
V4 |
(二) 局限性
Dijkstra没办法解决负边权的最短路径，如图
运行完该算法后，从顶点1到顶点3的最短路径为1,3，其长度为1，而实际上最短路径为1,2,3，其长度为0.（因为过程中先选择v3，v3被标记为已知，今后不再更新）
(三) 算法实现。
1．普通的邻接表 以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例
用vis作为上面标记的known，dis记录最短距离（记得初始化为一个很大的数）。
void dijkstra(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
int cur=s;
dis[cur]=0;
vis[cur]=1;
for(int i=0;i2.邻接表+优先队列。
要重载个比较函数.
struct point
{
int val,id;
point(int id,int val):id(id),val(val){}
bool operator <(const point &x)const{
return val>x.val;
}
};
void dijkstra(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i q;
q.push(point(s,0));
dis[s]=0;
while(!q.empty())
{
int cur=q.top().id;
q.pop();
if(vis[cur]) continue;
vis[cur]=true;
for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
{
int id=e[i].to;
if(!vis[id] && dis[cur]+e[i].val < dis[id])
{
dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
q.push(point(id,dis[id]));
}
}
}
} 二、SPFA（bellman-ford）
（一）原理过程：
（二）实现：
void SPFA(int s)
{
for(int i=0;i q;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int cur=q.front();
q.pop();
vis[cur]=false;
for(int i=0;i void spfa(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i q;
q.push(s);
vis[s]=true;
dis[s]=0;
while(!q.empty())
{
int cur=q.front();
q.pop();
vis[cur]=false;
for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
{
int id=e[i].to;
if(dis[id] > dis[cur]+e[i].val)
{
dis[id] = dis[cur] + e[i].val;
if(!vis[id])
{
vis[id]=true;
q.push(id);
}
}
}
}
} bool spfa()
{
for(int i=0;i<=n;i++)
dis[i]=INF;
bool vis[MAXN]={0};
int cnt[MAXN]={0};
queue q;
dis[0]=0;
vis[0]=true;
cnt[0]=1;
q.push(0);
while(!q.empty())
{
int cur=q.front();
q.pop();
vis[cur]=false;
for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
{
int id=e[i].to;
if(dis[cur] + e[i].val > dis[id])
{
dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
if(!vis[id])
{
cnt[id]++;
if(cnt[cur] > n)
return false;
vis[id]=true;
q.push(id);
}
}
}
}
return true;
} （三）：优化
（四）应用：
三、floyd
（一）原理过程：
（二）实现：
void floyd()
{
for(int k=0;k四、其他
如走迷宫经常用的BFS，以一个点出发，向外扩散。
如：
UVA 10047 - TheMonocycle BFS
HDU 1728逃离迷宫 BFS
POJ3984迷宫问题 BFS
UVA 11624 - Fire!图BFS
除了上面的
HDU 1874畅通工程续 SPFA || dijkstra||floyd
还有：
UVA11280 - Flying to Fredericton SPFA变形
UVA11090 - Going in Cycle!! SPFA
UVA10917 Walk Through the Forest SPFA
POJ 3259Wormholes邻接表的SPFA判断负权回路
POJ 1932XYZZY (ZOJ 1935)SPFA+floyd
UVA11374 Airport Express SPFA||dijkstra
UVA11367 - Full Tank? dijkstra+DP
POJ 1511Invitation Cards (ZOJ 2008)使用优先队列的dijkstra
POJ 3268Silver Cow Party (Dijkstra~)
POJ 2387Til the Cows Come Home (Dijkstra)
UVA10603 - Fill BFS~