牛客P21546 莫比乌斯反演+杜教筛

题意：

给出$n,k,l,r$，从区间$[l,r]$内取出$n$个数，并且他们的最大公约数为$k$，有多少种取法？这$n$个数可以有相等的

Solution：

即计算
$$\sum _{a_1=l}^r\sum _{a_2=l}^r...\sum _{a_n=l}^r[gcd(a_1,a_2,...,a_n)=k]$$
莫比乌斯反演即计算
$$\sum _{a_1=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }\sum _{a_2=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }...\sum _{a_n=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }[gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1]=\sum _{a_1=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }\sum _{a_2=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }...\sum _{a_n=\lceil \frac{l}{k}\rceil }^{\lfloor \frac{r}{k}\rfloor }\sum _{d|gcd(a_1,a_2,...,a_n)}\mu (d)$$
设$L=\lceil \frac{l}{k}\rceil ,R=\lfloor \frac{r}{k}\rfloor$，优先枚举因子，即计算
$$\sum _{d=1}^R\mu (d)(\lfloor \frac{R}{d}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{d}\rfloor {)}^n$$
整除分块即可完成此式操作，其中$\mu (x)$需要区间回答，需要处理成前缀和相减，前缀和只需要用杜教筛计算

时间复杂度：

最坏的情况下，整除分块时计算前缀和会递归计算所有$i\in [1,n]$的前缀和，每次杜教筛可以计算$\sqrt{n}$个前缀和，于是最多$\sqrt{n}$次杜教筛，因此最坏复杂度为$O(\sqrt{n}{n}^{\frac{2}{3}})=O(n^{\frac{7}{6}})$，实际复杂度远小于这个复杂度

// #include
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#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e6+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

int mu[N],prime[N],cnt;
bool nt[N];

void make_prime()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!nt[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=mod-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            nt[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else  mu[i*prime[j]]=1ll*mu[i]*mu[prime[j]]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) mu[i]=((1ll*mu[i]+mu[i-1])%mod+mod)%mod;
}

int ceil(int x,int y){
    return x%y?x/y+1:x/y;
}

ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

map<int,int>map1;

int calcmu(int n)
{
    if(n<N) return mu[n];
    if(map1.count(n)) return map1[n];
    int ret=1;
    for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=min(n,n/(n/l));
        ret=((1ll*ret-1ll*(r-l+1)*calcmu(n/l)%mod)%mod+mod)%mod;
    }
    return map1[n]=ret;
}

int solve(int sta,int en,int n)
{
    int ret=0;
    for(int l=1,r;l<=en;l=r+1)
    {
        r=min(en,en/(en/l));
        if((sta-1)/l) r=min(r,(sta-1)/((sta-1)/l));
        ret=(1ll*ret+qpow(en/l-(sta-1)/l,n)*(((calcmu(r)-calcmu(l-1))%mod+mod)%mod)%mod)%mod;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    make_prime();
    int n,k,l,r; cin>>n>>k>>l>>r;
    cout<<solve(ceil(l,k),r/k,n);
    return 0;
}