高等数学期末总复习 DAY4. 利用莱布尼茨定理求高阶导 隐函数求导 对数求导法 参数函数求导 用导数求切线、法线 函数的微分

DAY 4.

这世上总要有个明白人，懂得克制。

1. 利用莱布尼茨定理求高阶导

只看两点：
1、常用导数的高阶公式
2、例题

例题：

2.隐函数求导

这种方程里面y是x的函数，但是不显性。

例题1
设 $y=y(x),y^2-2xy+9=0$ 求 $\frac{d_y}{d_x}$

解：方程两边同时对x求导得

$2y{y}^{\prime }-2y-2x{y}^{\prime }=0$

$\frac{d_y}{d_x}$ = $\frac{y}{y-x}$

3.对数求导

例题2

$y=(\frac{x}{1+x}{)}^x$ 求 y 的一阶导

解：方程两边同时取对数有

$\ln y=x\ln (\frac{x}{1+x})$

方程两边同时对x求导得

$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln (\frac{x}{1+x})+x(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})$

$y^{\prime }=y(\ln (\frac{x}{1+x})+1-\frac{x}{1+x})$

$y^{\prime }=(\frac{x}{1+x}{)}^x(\ln (\frac{x}{1+x})+\frac{1}{1+x})$

4.参数函数求导

例题3

$\{\begin{array}{ll}x=\frac{t^2}{2}& \\ y=1-t& \end{array}$ 求 $\frac{d_y}{d_x}$, $\frac{d_y^2}{d_x{}^2}$

解：

$\frac{d_y}{d_x}$ = $\frac{(1-t{)}^{\prime }}{{\frac{t^2}{2}}^{\prime }}$ = $\frac{-1}{t}$

$\frac{d_y^2}{d_x{}^2}$ = $\frac{{\frac{-1}{t}}^{\prime }}{{\frac{t^2}{2}}^{\prime }}$ = $\frac{1}{t^3}$

5.用导数求切线、法线

这部分的内容和我们在高中学的差不多，基本就是求导数得斜率，再点差法写方程

例题4

求 $y=\cos x$ 在 点$(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2})$ 处的切线与法线方程。

解：对y求导得：

$y=-\sin x$ 代入点得切线的斜率k = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

由点差法可得切线的方程为：$y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\frac{\pi }{3})$

而函数的法线方程就只需要将斜率改写为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$

6.函数的微分

和前面函数的求导一样的只不过要在结尾加上 $d_x$

例题5

已知 $y=x\sin 2x$ ，则 $d_y=$ ___ $d_x$

解：$d_y=(\sin 2x+x\cos 2x\ast 2$)$d_x$ = $(\sin 2x+2x\cos 2x$)$d_x$