曲线积分与曲面积分的计算机应用,曲线积分与曲面积分(解题方法归纳).doc

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：

(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.

(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分

(3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.

(4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.

(5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.

(6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.

2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：

(1)若积分曲线关于轴对称，则

其中是在右半平面部分.

若积分曲线关于轴对称，则

其中是在上半平面部分.

(2)若空间积分曲线关于平面对称，则 .

(3)若积分曲面关于面对称，则

其中是在面上方部分.

若积分曲面关于面对称，则

其中是在面前方部分.

若积分曲面关于面对称，则

其中是在面右方部分.

(4)若曲线弧，则

若曲线弧(极坐标)，则

若空间曲线弧，则

(5)若有向曲线弧，则

若空间有向曲线弧，则

(6)若曲面，则

其中为曲面在面上的投影域.

若曲面，则

其中为曲面在面上的投影域.

若曲面，则

其中为曲面在面上的投影域.

(7)若有向曲面，则

(上“+”下“-”)

其中为在面上的投影区域.

若有向曲面，则

(前“+”后“-”)

其中为在面上的投影区域.

若有向曲面，则

(右“+”左“-”)

其中为在面上的投影区域.

(8)与路径无关(为内任一闭曲线)

(存在)

其中是单连通区域，在内有一阶连续偏导数.

(9)格林公式

其中为有界闭区域的边界曲线的正向，在上具有一阶连续偏导数.

(10)高斯公式

或

其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧，在上具有一阶连续偏导数，为曲面在点处的法向量的方向余弦.

(11)斯托克斯公式

其中为曲面的边界曲线，且的方向与的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则，在包含在内的空间区域内有一阶连续偏导数.

计算曲线积分或曲面积分的步骤：

(1)计算曲线积分的步骤：

1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分)；

2)对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；

对坐标的曲线积分：

判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；

判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算(添加的辅助线要减掉)；

将其化为定积分直接计算.

对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.

(2)计算曲面积分的步骤：

1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分)；

2)对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；

对坐标的曲面积分：

判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算(添加的辅助面要减掉)；

将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.

例1 计算曲线积分，其中为取逆时针方向.

解

由于积分曲线关于轴、轴均对称，被积函数对、均为偶函数，因此

故

『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.

例2 计算曲面积分，其中为球面.

解

由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知

又由轮换对称性知

故

『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.

例3 计算曲面积分，其中为球面.

解

『方法技巧』 积分曲面是关于对称的，被积函数是的奇函数，因此

例4 计算曲线积分，其中为圆周的逆时针方向.

解法1 直接计算. 将积分曲线表示为参数方程形式

代入被积函数中得

解法2 利用格林公式

其中，故

『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式：

解法2中，一定要先将积分曲线代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足在内有一阶连续偏导数的条件.

例5 计算曲线积分，其中为沿由点

到点的曲线弧.

解 直接计算比较困难.

由于 ，

因此在不包含原点的单连通区域内，积分与路径无关.

取圆周上从到点的弧段代替原弧段，

其参数方程为：，代入被积函数中得

『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段，既要保证简单，又要保证不经过坐标原点.

例6 计算曲