线性代数 --- 矩阵与向量的乘法

矩阵与向量相乘

part I 基础知识部分：

矩阵x向量（注：可以把列向量看成是nx1的矩阵）

        现有如下方程组： 

9个系数，3个未知数，等式右边有3个数

        接下来用矩阵Ax=b的方式来表示上面的方程组：

现在我们分别用两种方法行乘和列乘来计算系数矩阵A和未知数向量x的乘法。

第一种方法是：用A矩阵中的每一行row去乘以x，如下

        这种计算方法得到的结果，正好是原始方程组中的第一个方程。依此类推，也就是用A矩阵中的第二，第三行，逐一与向量x相乘，就能得到原始方程。

                                                     

        

        一个1xn的行向量乘以一个nx1的列向量是一个非常基本的操作，他会得到一个数1x1。这个算法又叫矩阵的内积（Inner product）。例如，用A中的第一行[2 1 1]乘以另外一个列向量[1 1 2]，得到的就是一个数[5]。

另一种方法就是：把b看成是A中各列column的线性组合,其中未知数u,v,w分别代表了各个列向量所需的权重。

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        这种计算方法是全书的重点，也是学习线性代数该有的视角(强烈推荐)。因为他是在用线性组合的方式来看问题。（在后面的学习中，我们会用空间Space这种更高的视角来看Ax=b。）就好像我在另外一篇自己的总结中写的那样，学习线性代数的重点，不应该是只学习如果求解Ax=b，而是去学习如果表达Ax=b。 

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part II重点部分：

        有了前面的基础知识，我们就应该摈弃早年学习线性代数时，早已形成的那种，用A中的逐行乘以列的方式计算Ax，“一头扎进”列向量的线性组合的视角。矩阵与向量相乘分为矩阵的右乘与矩阵的左乘，矩阵的右乘即为对矩阵的列操作，而矩阵的左乘即为矩阵的行操作 。

矩阵的右乘

        矩阵B右乘矩阵A，把矩阵B看成一系列的列向量col1,col2......coln，对A的线性重组。（牢记口诀：后乘列，列操作。）

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矩阵的左乘

        矩阵B左乘矩阵A，把矩阵B看成一系列的行向量row1,row2......cown，对A的线性重组。（牢记口诀：前乘行，行操作。）

（全文完） 

鸣谢：

1,Linear Algebra and Its Applications ---  Gibert Strang

2,线性代数及其应用 --- 侯自新，南开大学出版社，1990年

（配图与本文无关） 

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