《数学基础》-1.线性代数-1.5.矩阵的奇异值

1.5.矩阵的奇异值

1.5.1.矩阵的奇异值分解（svd分解）

证明：

（1）为m行n列，秩为r的矩阵

奇异值定义：

这里有r个λ大于0，因为为对称阵，所以可以对角化，即为对角阵，又因为R()=R(A) ，且由相似定理得与相似，则他们的特征值相同，所以有r个λ大于0

奇异值分解（svd分解）：

证明：

则 

所以：,（1）    （2）

由（1）得：

或者左右两边同时乘以Σ的逆得

由（2）得：

上式称为矩阵A的奇异值分解

 

例题：

解：

1.5.2.svd分解的应用

1.图像压缩

图片可以看做一个矩阵，利用奇异值分解，可以写成

其中：

将A展开得：

其中

原始图像需要保存m×n个数，但是经过分解，由于后面的σ越来越小，所以可以只取前k个项，则数据量为(m+n+1)k<

采用这种方式存储图像，损失函数为：

k越大，损失越小，更能充分接近真实的图像。

下面可以分别对k取不同值，对比图像差别：

分别保留二十分之一、十分之一、五分之一、三分之一、二分之一、原图对比

 

 

 

2.矩阵乘法加速