【算法模板】搜索与图论——DFS、BFS、树和图的存储、树与图的遍历、拓扑排序、最短路问题、最小生成树

week3 搜索与图论

DFS(深度优先搜索)

算法思想

一直走到底，十分执着

要结合回溯和剪枝

代码模板

int dfs(int u)
{
    st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

例子

example 1 : 排列数字

给定一个整数 $n$，将数字 $1\sim n$ 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

#include

using namespace std;

const int N=100;

int n;
bool flag[100];
int path[N];

void dfs(int a)
{
    if(a == n)
    {
        for(int i=0;i>n;
    
    dfs(0);
    
    return 0;
    
}

example 2 : n-皇后问题

$n-$​皇后问题是指将 $n$​ 个皇后放在 $n\times n$​​​ 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一3行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 $n$​，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

1、搜索方法一

#include

using namespace std;

const int N=20;

int n;
char g[N][N];
int col[N],dj[N],udj[N];

void dfs(int x)
{
    if(x==n)
    {
        for(int i=0;i>n;
    
    for(int i=0;i

2、搜索方法二

#include 

using namespace std;

const int N = 10;

int n;
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];
char g[N][N];

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (s > n) return;
    if (y == n) y = 0, x ++ ;

    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }

    g[x][y] = '.';
    dfs(x, y + 1, s);

    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        g[x][y] = 'Q';
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;

    dfs(0, 0, 0);

    return 0;
}

BFS(宽度优先搜索)

算法思想

BFS是一层一层地进行搜索的，BFS搜到的点距离起点越来越远。通过BFS可以搜到最短路，第一次搜到的

点即为最短路

代码模板

例子

example 1 : 走迷宫

给定一个 $n\times m$​ 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 $0$​ 或 $1$​，其中 $0$ 表示可以走的路，$1$ 表示不可通过的墙壁。

最初，有一个人位于左上角 $(1,1)$ 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。

请问，该人从左上角移动至右下角 $(n,m)$ 处，至少需要移动多少次。

数据保证 $(1,1)$ 处和 $(n,m)$ 处的数字为 $0$，且一定至少存在一条通路。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair PII;

const int N = 110;

int n, m;
int g[N][N], d[N][N];

int bfs()
{
    queue q;

    memset(d, -1, sizeof d);
    d[0][0] = 0;
    q.push({0, 0});

    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
            int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];

            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1)
            {
                d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
                q.push({x, y});
            }
        }
    }

    return d[n - 1][m - 1];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            cin >> g[i][j];

    cout << bfs() << endl;

    return 0;
}

树和图的存储

树是一种特殊的图（无环连通图），与图的存储方式相同。

对于无向图中的边$a,b$​，存储两条有向边$a->b$​, $b->a$。

因此我们可以只考虑有向图的存储。

存储方式

1. 邻接矩阵

   $g[a][b]$​​ 存储边 $a->b$​，但这种存储方式浪费了较多的空间，适合用来存储较为稠密的树或图

2. 邻接表

   在数组中存储每一个点的首地址，后续节点存储与该点相连的点

   核心：用数组模拟单链表

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;

// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

树与图的遍历

时间复杂度 $O(n+m)$​, $n$​ 表示点数，$m$ 表示边数

深度优先遍历(DFS)

代码模板

int dfs(int u)
{
    st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

宽度优先遍历(BFS)

代码模板

queue q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);

while (q.size())
{
    int t = q.front();
    q.pop();

    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
            q.push(j);
        }
    }
}

例子

example 1 : 树的重心

给定一颗树，树中包含 $n$​ 个结点（编号 $1\sim n$）和 $n-1$ 条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;

int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int ans = N;
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dfs(int u)
{
    st[u] = true;

    int size = 0, sum = 0;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (st[j]) continue;

        int s = dfs(j);
        size = max(size, s);
        sum += s;
    }

    size = max(size, n - sum - 1);
    ans = min(ans, size);

    return sum + 1;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    dfs(1);

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

example 2 : 图中点的层次

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环。

所有边的长度都是 $1$，点的编号为 $1\sim n$。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果从 $1$ 号点无法走到 $n$ 号点，输出 $-1$。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof d);

    queue q;
    d[1] = 0;
    q.push(1);

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (d[j] == -1)
            {
                d[j] = d[t] + 1;
                q.push(j);
            }
        }
    }

    return d[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    cout << bfs() << endl;

    return 0;
}

拓扑排序

算法思想

主要针对的是有向无环图，是对BFS的一大应用。有向无环图一定存在拓扑序列。每次检测是否存在入度为$0$​ ​的点，入度为 $ 0 $​​​ ​点即为起点，将其入队，再进行BFS即可。

代码模板

时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    // d[i] 存储点i的入
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

例子

example 1 : 有向图的拓扑排序

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，点的编号是 $1$ 到 $n$，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 $-1$。

若一个由图中所有点构成的序列 $A$ 满足：对于图中的每条边 $(x,y)$，$x$ 在 $A$ 中都出现在 $y$ 之前，则

称 $A$ 是该图的一个拓扑序列。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N];
int q[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    return tt == n - 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);

        d[b] ++ ;
    }

    if (!topsort()) puts("-1");
    else
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
        puts("");
    }

    return 0;
}

最短路问题

算法内容

最短路问题一共有两大类，一类是单源最短路问题（一个点到其他所有点），另一类是多源汇最短路问题（起点和终点都不确定）。对于单源最短路问题，又可分为两类。一类是所有的边都是正数的情况，通常使用朴素的dijkstra算法或使用堆优化的dijkstra算法解决。另一类即是存在负权边的情况，通常使用bellman-ford算法或spfa算法来解决。而对于多源汇最短路问题，则使用floyd算法解决。

算法模板

朴素dijkstra算法

时间复杂度是 $O(n^2+m)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

堆优化版dijkstra

时间复杂度 $O(mlogn)$, $n$ 表示点数，$m$​​ 表示边数

对于稀疏图需要进行优化

typedef pair PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue, greater> heap;
    heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

bellman-ford算法

时间复杂度 $O(n\cdot m)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

spfa算法（队列优化的bellman-ford算法）

时间复杂度 平均情况下 $O(m)$，最坏情况下 $O(n\cdot m)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

floyd算法

时间复杂度是 $O(n^3)$, $n$​ 表示点数

初始化：
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

例子

example 1 : Dijkstra求最短路 I

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $-1$。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

        g[a][b] = min(g[a][b], c);
    }

    printf("%d\n", dijkstra());

    return 0;
}

example 2 : Dijkstra求最短路 II

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $-1$

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair PII;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue, greater> heap;
    heap.push({0, 1});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}

example 3 : 有边数限制的最短路

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 $1$​​ 号点到 $n$​ 号点的最多经过 $k$​ 条边的最短距离，如果无法从 $1$​ 号点走到 $n$​ 号点，输出 impossible 。

注意：图中可能 存在负权回路 。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

struct Edge
{
    int a, b, c;
}edges[M];

int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++ )
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        edges[i] = {a, b, c};
    }

    bellman_ford();

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else printf("%d\n", dist[n]);

    return 0;
}

example 4 : spfa求最短路

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 impossible 。

数据保证不存在负权回路。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    int t = spfa();

    if (t == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

example 5 : spfa判断负环

给定一个 $n$个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2010, M = 10010;

int n, m;
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    queue q;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;

                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    if (spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

example 6 : Floyd求最短路

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$​​ 的最短距离，如果路径不存在，则输出impossible 。

数据保证图中不存在负权回路。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }

    floyd();

    while (Q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}

最小生成树

代码模板

朴素prim算法

时间复杂度是 $O(n^2+m)$​, $n$ 表示点数，$m$​ 表示边数

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中


// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

Kruskal算法

时间复杂度是 $O(mlogm)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

例子

example 1 : Prim算法求最小生成树

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$​ 的最小生成树。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];


int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = prim();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

example 2 : Kruskal算法求最小生成树

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$​​ 的最小生成树。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}