贝叶斯公式的机器学习理解视角

继续分析例题

吸毒者检测
假设一个吸毒检测器的准确率为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的概率为99%。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？令 D 为雇员吸毒事件，~D 为雇员不吸毒事件，+为检测呈阳性事件。

用离散贝叶斯定理对一个例子的分析 这篇文章，我们是通过贝叶斯公式的视角来分析的，下面做一个映射，将其转化为机器学习问题。

已知在机器学习算法中，我们有样本数据$(X,y)$，其中 $X$ 表示输入，$y$表示输出，学习的目标，是找到一个模型 M，适中地拟合 X 和 y（不过拟合，也不欠拟合），从而在将来遇到新的输入数据 X 时，能较好地预测输出 y。

下面进行映射过程：

雇员吸毒与否，是我们需要预测的目标，对应样本数据中的 $y$，阴阳性，则是我们的观察结果，对应样本数据中的 X，即贝叶斯视角和机器学习视角的对应关系如下：

贝叶斯视角	机器学习视角
阴阳性	X
是否吸毒	Y

由于检测结果只有 阴性和阳性，所以 X 的取值为 0 或 1，Y 表示是否吸毒，取值也为 0 或 1，所以贝叶斯视角和机器学习视角的样本空间的对应关系如下：

贝叶斯视角	机器学习视角
雇员吸毒，检测为阳性	(1,1)
雇员吸毒，检测为阴性	(0,1)
雇员没有吸毒 ，检测为阳性	(1, 0)
雇员没有吸毒，检测为阴性	(0, 0)

在吸毒者检测中，我们没有具体的样本数据，有的只是样本数据的统计概率。但是不影响，我们可以根据概率，生成一些样本数据。我们已知雇员吸毒的概率为 0.5%，所以我们可以生成100, 000个$(x,y)$数据，其中500个$(x,1)$，99, 500个$(x,0)$。已知雇员吸毒的情况下，阳性的概率为 0.99，即在500个为(x,1)的样本中，有495个为 (1,1)，5个为(0,1)。已知雇员不吸毒的情况下，阳性的概率为0.01，即在99500个为(x,0)的样本中，有995个为(1,0)，有98505个为(0,0)。整理表格如下

样本	个数
(0,1)	5
(1,1)	495
(1,0)	995
(0,0)	98505

有了上面的数据，我们便可以用机器学习算法，对数据进行拟合。回到题干的问题：每位检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高，我们可以用训练好的模型，对 100 个，或者 1000 个 输入x=1的样本进行预测，得到预测集合中 $\hat{y}=1$结果的占比即为检测呈阳性的雇员吸毒的概率。