[数值分析]微分方程初值问题及matlab代码
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前言
科学计算中常遇到一阶微分方程的初值问题:
y ′ = f ( x , y ) , x ∈ [ x 0 , b ] , y ( x 0 ) = y 0 . y' = f(x,y), x\in[x_0,b],\\ y(x_0) = y_0. y′=f(x,y),x∈[x0,b],y(x0)=y0.
以下介绍几种常用方法
欧拉法
公式
经过推导可以得到公式
y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) y_{n+1} = y_n+hf(x_n,y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn)
代码
matlab代码如下
eular.m
syms x;
x=input('x0='); %初始值x0
y=input('y(x0)='); %初始值y0
f(x,y)=input('dy/dx='); %输入y'
h=input('h='); %步长
t=input('x_final=')-x/h; %x的目标值
for i=1:t
y=y+h*f(x,y);
x=x+h;
disp(['x' num2str(i) '=' num2str(roundn(x,-4))]); %保留4位小数
disp(['y' num2str(i) '=' num2str(roundn(y,-4))]);
end
改进欧拉公式
公式
经过推导可以得到公式
y p = y n + h f ( x n , y n ) , y c = y n + h f ( x n + 1 , y p ) , y n + 1 = 1 2 ( y p + y c ) . y_p = y_n+hf(x_n,y_n),\\ y_c = y_n+hf(x_{n+1},y_p), \\ y_{n+1} = \frac{1}{2}(y_p+y_c). yp=yn+hf(xn,yn),yc=yn+hf(xn+1,yp),yn+1=21(yp+yc).
代码
matlab代码如下
improved_eular.m
syms x;
x=input('x0='); %初始值x0
y=input('y(x0)='); %初始值y0
f(x,y)=input('dy/dx='); %输入y'
h=input('h='); %步长
t=input('x_final=')-x/h; %x的目标值
fp=@(x,y) y+h*f(x,y);
fc=@(x,y) y+h*f(x+h,fp(x,y));
for i=1:t
y=1/2*(fp(x,y)+fc(x,y));
x=x+h;
disp(['x' num2str(i) '=' num2str(roundn(x,-4))]); %保留4位小数
disp(['y' num2str(i) '=' num2str(roundn(y,-4))]);
end
四阶龙格-库塔法(RK)
公式
y n + 1 = y n + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) , K 1 = f ( x n , y n ) , K 2 = f ( x n + h 2 , y n + h 2 K 1 ) , K 3 = f ( x n + h 2 , y n + h 2 K 2 ) , K 4 = f ( x n + h , y n + h K 3 ) . y_{n+1} = y_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4),\\ K_1 = f(x_n,y_n),\\ K_2 = f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}K_1),\\ K_3 = f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}K_2),\\ K4 = f(x_n+h,y_n+hK_3). yn+1=yn+6h(K1+2K2+2K3+K4),K1=f(xn,yn),K2=f(xn+2h,yn+2hK1),K3=f(xn+2h,yn+2hK2),K4=f(xn+h,yn+hK3).
代码
RK_4.m
syms x;
x=input('x0='); %初始值x0
y=input('y(x0)='); %初始值y0
f(x,y)=input('dy/dx='); %输入y'
h=input('h='); %步长
t=input('x_final=')-x/h; %x的目标值
K1=@(x,y) f(x,y);
K2=@(x,y) f(x+h/2,y+h/2*K1(x,y));
K3=@(x,y) f(x+h/2,y+h/2*K2(x,y));
K4=@(x,y) f(x+h,y+h*K3(x,y));
for i=1:t
y=y+h/6*(K1(x,y)+2*K2(x,y)+2*K3(x,y)+K4(x,y));
x=x+h;
disp(['x' num2str(i) '=' num2str(roundn(x,-4))]);
disp(['y*' num2str(i) '=' num2str(roundn(y,-4))]);
ya=1/3*exp(-50*x)+x^2;
disp(['y' num2str(i) '=' num2str(roundn(ya,-4))]);
disp(['delta=' num2str(abs(ya-y))]);
end
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