K-means和K-means++

一、概述

      在本篇文章中将对聚类算法(K-means,K-means++)进行详细介绍，并利用数据集来真实地反映这算法之间的区别。

      首先需要明确的是上述算法都属于"硬聚类”算法，即数据集中每一个样本都是被100%确定得分到某一个类别中。与之相对的"软聚类”可以理解为每个样本是以一定的概率被分到某一个类别中。

K-means与K-means++：原始K-means算法最开始随机选取数据集中K个点作为聚类中心，而K-means++按照如下的思想选取K个聚类中心：假设已经选取了n个初始聚类中心(0

二、经典K-means算法

                                                                 图1：算法流程

       值得一提的是关于聚类中心数目（K值）的选取，的确存在一种可行的方法，叫做Elbow Method：通过绘制K-means代价函数与聚类数目K的关系图，选取直线拐点处的K值作为最佳的聚类中心数目。但在这边不做过多的介绍，因为上述方法中的拐点在实际情况中是很少出现的。比较提倡的做法还是从实际问题出发，人工指定比较合理的K值，通过多次随机初始化聚类中心选取比较满意的结果。

三、K-means++算法

2007年由D. Arthur等人提出的K-means++针对图1中的第一步做了改进。可以直观地将这改进理解成这K个初始聚类中心相互之间应该分得越开越好。整个算法的描述如下图所示：

                                               图2：K-means++算法流程

下面结合一个简单的例子说明K-means++是如何选取初始聚类中心的。数据集中共有8个样本，分布以及对应序号如下图所示：

                                     

                                                                      图3：K-means++示例

假设经过图2的步骤一后6号点被选择为第一个初始聚类中心，那在进行步骤二时每个样本的D(x)和被选择为第二个聚类中心的概率如下表所示：

        

      其中的P(x)就是每个样本被选为下一个聚类中心的概率。最后一行的Sum是概率P(x)的累加和，用于轮盘法选择出第二个聚类中心。方法是随机产生出一个0~1之间的随机数，判断它属于哪个区间，那么该区间对应的序号就是被选择出来的第二个聚类中心了。例如1号点的区间为[0,0.2)，2号点的区间为[0.2, 0.525)。

      从上表可以直观的看到第二个初始聚类中心是1号，2号，3号，4号中的一个的概率为0.9。而这4个点正好是离第一个初始聚类中心6号点较远的四个点。这也验证了K-means的改进思想：即离当前已有聚类中心较远的点有更大的概率被选为下一个聚类中心。可以看到，该例的K值取2是比较合适的。当K值大于2时，每个样本会有多个距离，需要取最小的那个距离作为D(x)。

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作者：Yixuan-Xu
来源：博客园
原文：https://www.cnblogs.com/yixuan-xu/p/6272208.html
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