Review of Matrix Theory （HITSZ） 含22年真题

HITSZ矩阵分析复习（Prof. Zaoyang Guo授课）

1. 复习小记

懒了，记个思路在这里。

与本科学习线性代数很大一个不同点在于，Guo的矩阵分析课逐步深入地引领我们了解各式各样矩阵定义定理的由来，是带有Motivation的。

总而言之，研究生的矩阵分析是先回答Why，再回答How；而本科阶段的线性代数只回答了How，因此我们学习起来非常抽象而且考完就忘。

线性代数是一门非常重要的课程。虽然对博主的领域没有太大的帮助，但是对于理解图形、空间的变换确实一个非常常用的法宝。

与之前的复习类文章不同，本文主要梳理课程大纲，剖析线性代数的由来，并后续不断向其中加入章节具体内容。希望通过本文让大家更好地理解抽象的线代。

1.1 Overview

• Chapter 1. 问题的由来：如何解方程组$Ax=b$？

• Chapter 2. 行列式

  • 如何更方便地判断方程组是否有解：定义$det(A)$，即通过计算矩阵$A$的某些性质来快速判断$Ax=b$解的情况。
  • ……

• Chapter 3. 向量空间

  • 探索$Ax$的结果：定义向量空间。只要$b$在$Ax$构成的空间中，那么$Ax=b$就有解
  • 探索方程$Ax=b$中有效方程的个数：定义$Rank(A)$
  • 基：找到一个矩阵$A$，使得$Ax$的结果可以表示任意向量？

• Chapter 4. 线性变换

  • 将$Ax=b$拔高抽象为一种空间的映射就可以表示对向量进行拉伸、缩放、旋转等物理操作
  • ……

• Chapter 5. 特征根与特征向量

  • 是否存在一个数值等价于矩阵变换的操作：$Ax=\lambda x$，找到该数值并求解$x$

• Chapter 6. 正交

  • 如何表示空间中的某个点：从不同的原点出发构建正交坐标系，由此定义正交、正交矩阵等
  • ……

• Chapter 7. 特殊矩阵

• Chapter 8. SVD

2. 2022年试题回忆

1. 给出两组向量集合，判断向量的$span$是否组成子空间的基
   思路：先说明向量组构成子空间，再判断向量是否线性独立

2. 给出一个矩阵$A$，求$Rank(A)$以及子空间$Nullity(A)$，$Row(A)$与$Col(A)$的基
   思路：行变换即可

3. 给出$T({\overline{b}}_1)$，$T({\overline{b}}_2)$，$T({\overline{b}}_3)$，求解线性变换在基$B{B}^{\prime }$下对应的表征矩阵（Matrix Representation）
   思路：$A=([T({\overline{b}}_1){]}_{B^{\prime }},[T({\overline{b}}_2){]}_{B^{\prime }},[T({\overline{b}}_3){]}_{B^{\prime }})$，这里$[T({\overline{b}}_1){]}_{B^{\prime }}$代表$T({\overline{b}}_1)$在$B^{\prime }$基下对应的坐标

4. 说明如下矩阵在什么情况下可对角化
   $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
   思路：① 写出$|A-\lambda I|$多项式 ② 讨论根：如果根不同，则一定可以；如果根相同，则必须保证$dim(N(A-\lambda I))=2$

5. 计算$e^A$
   思路：计算$A$的特征值、特征向量，求解$A=SD{S}^{-1}$，则$e^A=S{e}^D{S}^{-1}$。$D$是对角阵，$e^D$的对角线上每个元素为$e^{{\lambda }_i}$

6. 求证如果$A$非奇异，则$A^{T}A$正定
   思路：很简单，① 写出求$A^{T}A$的正定表达式：$x^T{A}^{T}Ax$ ② 由$|A|\ne 0$知$x^T{A}^{T}Ax=0$当且仅当$x=0$，所以$x\ne 0$时$x^T{A}^{T}Ax>0$，证毕

7. 求解矩阵的$QR$分解
   思路：对矩阵$A$进行施密特正交化（不断投影），正交阵即为$Q$，$R$自己凑凑也能凑出来，标准方法就是把每次除以的模记录下来，但最简单的就是计算$A=QR\Rightarrow Q^{-1}A=R\Rightarrow Q^{T}A=R$

3. 总结

总体来说，Matrix Theory讲得比较不错，把本科的很多空缺补上了，至此才明白矩阵、秩、向量空间、子空间等的用处以及由来。OK，