实例：近似点梯度法、 Nesterov 加速算法求解 LASSO 问题

实例：近似点梯度法、 Nesterov 加速算法求解 LASSO 问题

考虑 LASSO 问题

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}\Vert Ax-b{\Vert }_2^2+\mu \Vert x{\Vert }_1,$$

在连续化策略下，分别利用近似点梯度法和两种 Nesterov 加速算法对其求解。

构建 LASSO 优化问题

设定随机种子。

clear;
seed = 97006855;
ss = RandStream('mt19937ar','Seed',seed);
RandStream.setGlobalStream(ss);

构造 LASSO 优化问题

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}\Vert Ax-b{\Vert }_2^2+\mu \Vert x{\Vert }_1,$$

生成随机的矩阵 $A$ 和向量 $u$ 以使得 $b=Au$。给定正则化系数为 1e-3。

m = 512;
n = 1024;
A = randn(m, n);
u = sprandn(n, 1, 0.1);
b = A * u;
x0 = randn(n, 1);
mu = 1e-3;

求解 LASSO 优化问题

BB 步长带线搜索的连续化近似点梯度法

首先以更严格的停机准则，得到最优值 $f^{\ast }$ 的参考。

opts.opts1.ls = 1;

opts.opts1.bb = 1;

AA = A' * A; 
L = eigs(AA, 1); % d = eigs(A,k) 返回 k 个模最大的特征值。
opts = struct();
opts.method = 'proximal_grad';
opts.verbose = 0; % 不等于0时输出每步迭代信息，否则不输出
opts.maxit = 4000; 
opts.opts1 = struct();
opts.opts1.ls = 1; % 使用线搜索算法
opts.opts1.bb = 1; % 使用BB算法
opts.alpha0 = 1/L; % 初始步长
opts.ftol = 1e-12;
opts.gtol = 1e-10;
addpath('../LASSO_con') % 添加所有子目录的路径到工作路径
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
f_star = min(out.fvec); % 最优值

BB 步长带线搜索的连续化近似点梯度法

opts = struct();
opts.method = 'proximal_grad';
opts.opts1 = struct();
opts.verbose = 0;
opts.maxit = 400;
opts.opts1.ls = 1;
opts.opts1.bb = 1;
opts.alpha0 = 1/L;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data1 = (out.fvec - f_star)/f_star; % 收敛速度
k1 = min(length(data1),400);
data1 = data1(1:k1);

固定步长且无线搜索的连续化近似点梯度法

opts = struct();
opts.method = 'proximal_grad';
opts.opts1 = struct();
opts.verbose = 0;
opts.maxit = 400;
opts.opts1.ls = 0; % 不使用线搜索算法
opts.opts1.bb = 0; % 不使用BB算法
opts.alpha0 = 1/L;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data2 = (out.fvec - f_star)/f_star;
k2 = min(length(data2),400);
data2 = data2(1:k2);

BB 步长带线搜索的 FISTA 算法

opts = struct();
opts.method = 'Nesterov';
opts.opts1 = struct();
opts.verbose = 0;
opts.maxit = 400;
opts.opts1.ls = 1;
opts.opts1.bb = 1;
opts.alpha0 = 1/L;
opts.ftol0 = 1;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data3 = (out.fvec - f_star)/f_star;
k3 = min(length(data3),400);
data3 = data3(1:k3);

固定步长且无线搜索的 FISTA 算法

opts = struct();
opts.method = 'Nesterov';
opts.opts1 = struct();
opts.verbose = 0;
opts.maxit = 400;
opts.opts1.ls = 0;
opts.opts1.bb = 0;
opts.alpha0 = 1/L;
opts.ftol0 = 1;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data4 = (out.fvec - f_star)/f_star;
k4 = min(length(data4),400);
data4 = data4(1:k4);

固定步长且无线搜索的第二类 Nesterov 加速算法

opts = struct();
opts.method = 'Nesterov2nd';
opts.opts1 = struct();
opts.verbose = 0;
opts.maxit = 400;
opts.opts1.ls = 0;
opts.opts1.bb = 0;
opts.alpha0 = 1/L;
opts.ftol0 = 1;
[x, out] = LASSO_con(x0, A, b, mu, opts);
data5 = (out.fvec - f_star)/f_star;
k5 = min(length(data5),400);
data5 = data5(1:k5);

结果可视化

在第一张图中，我们展示连续化近似点梯度法在 BB 步长和固定步长下的收敛性的差别。

fig = figure;
semilogy(0:k1-1, data1, '-', 'Color',[0.2 0.1 0.99], 'LineWidth',2);
hold on
semilogy(0:k2-1, data2, '-.','Color',[0.99 0.1 0.2], 'LineWidth',1.5);
legend('BB步长', '固定步长');
ylabel('$(f(x^k) - f^*)/f^*$', 'fontsize', 14, 'interpreter', 'latex');
xlabel('迭代步');
print(fig, '-depsc','proxg.eps');

在第二张图中，我们对比基础的近似点梯度法和其各版本的加速算法的收敛性差别。

fig = figure;
semilogy(0:k1-1, data1, '-', 'Color',[0.99 0.1 0.99], 'LineWidth',2);
hold on
semilogy(0:k3-1, data3, '-.','Color',[0.99 0.1 0.2], 'LineWidth',1.2);
hold on
semilogy(0:k4-1, data4, '--','Color',[0.2 0.1 0.99], 'LineWidth',1.5);
hold on
semilogy(0:k5-1, data5, ':','Color',[0.5 0.2 1], 'LineWidth',1.8);
legend('BB步长的近似点梯度法', 'BB步长的FISTA算法','固定步长的FISTA算法', '固定步长的第二类Nesterov算法');
ylabel('$(f(x^k) - f^*)/f^*$', 'fontsize', 14, 'interpreter', 'latex');
xlabel('迭代步');
print(fig, '-depsc','fproxg.eps');

结果分析

左图展示了固定步长和 BB 步长的连续化近似点梯度法的收敛速度，结合了线搜索的 BB步长可以显著提高算法的收敛速度。

在右图中，我们将近似点梯度法和几种加速算法进行比较。在固定步长下，FISTA算法相较于第二类 Nesterov 算法稍快，也注意到这里的 FISTA 算法是非单调算法。BB 步长有效地加快收敛，此外，带有线索搜地近似点梯度法可以比同样设定的 FISTA 算法更快收敛。