代码随想录day24|回溯算法、77.组合

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回溯算法的基础

题目：77.组合

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/

剪枝优化

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回溯算法的基础

回溯算法是一种暴力搜索方法，回溯函数也是一种递归函数。

回溯算法可以解决的问题可以抽象为树形结构，因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。有以下几种：

• 组合
• 排列
• 子集
• 切割
• 棋盘 

回溯算法的模板：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

题目：77.组合

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

当n=4，k=2时，我们可以直接用for循环暴力搜索，用两层for循环

for(int i=1;i<=4;i++)
{
    for(int j=i+1;j<=4;j++)
    {
        cout << i <<" "<< j << endl;
    }
}

但是如果k比较大，比如k=100,那么需要100层for循环。所以考虑用回溯算法。

思路：

首先，应该定义一个数组vectorpath来存放符合条件的结果，定义一个二维数组vector>result来存放符合条件的结果的集合。

返回值一般为void，参数需要传入n和k之外，还要一个参数startIndex来记录本层递归中搜索的起始位置。

• 递归的终止条件

如果收集到收集到了满足条件的一个答案，就把这个答案保存起来，并且结束本层递归。

• 单层的搜索过程

回溯法一般在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成了树的深度。

代码如下：

class Solution {
private:
    vector> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝优化

当n=4，k=4时，从2开始搜索就没有意义了，因为，从2开始搜索的话，凑不齐4个数。（搜索起点有上界），剪枝可以避免不必要的遍历。

容易知道搜索起点和需要取几个数有关，又因为需要取几个数和已经取了几个数有关。即与path.size()有关。

接下来模拟一下过程：

当n=6，k=4时，【1，2，3，4，5，6】

path.size()=0时，我们还需要4个数，搜索起点的上界为3，

path.size()=1时，我们还需要3个数，搜索起点的上界为4，

path.size()=2时，我们还需要2个数，搜索起点的上界为5，

path.size()=3时，我们还需要1个数，搜索起点的上界为6，

归纳可得：搜素上界+我们还需要几个数-1=n

即：搜索上界=n-(k-path.size())+1

 剪枝优化后的代码如下：

class Solution {
private:
    vector> result;
    vector path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};