numpy实现周志华机器学习 9.4.3 高斯混合聚类（GMM算法）

本文主要参考周志华《机器学习》的9.4.3章节，对高斯混合聚类的原理做简单介绍，并使用numpy实现GMM。

要想很好得理解掌握高斯混合聚类算法，以我的学习经验来看，需要掌握两方面背景知识。

• 多维正态分布
• EM算法

关于上述两方面知识，我只做简单的介绍。

多维正态分布
首先，什么是多维正态分布？就是多变量的正态分布。我们所熟知的正态分布往往是一维的，但在现实中，我们所获得的数据往往是多维的。这就需要用到多维正态分布。因为二维的正态分布是两个独立同分布的联合概率分布，所以从一维到2维的推广：
$$p(x,y)=p(x)p(y)=\frac{1}{2\pi }\exp \left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right)$$
用一维向量表示变量为：$$V=[x,y{]}^T$$
则可写成：$$p(x,y)=\frac{1}{2\pi }\exp \left(-\frac{V{V}^T}{2}\right)$$
进一步对V做线性变换，令V=A（V-μ），则：
$$p(\mathbf{x})=\frac{|det(A)|}{2\pi }\exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu {)}^T{A}^{T}A(\mathbf{x}-\mu )\right]$$
观察上面的公式发现，$$\Sigma ={（A^{T}A）}^{-1}是多维高斯分布的协方差$$，那么上式可以进一步写成：
$$p(\mathbf{x})=\frac{1}{2\pi |\Sigma {|}^{1/2}}\exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mu )\right]$$
以上便是多维高斯分布的简单介绍。

EM算法
EM算法主要是针对模型中具有隐变量时的参数估计。例如估计
$$\lambda =argmax(L(x|y,\lambda ))$$
其中y即为隐变量，这种似然函数很难估计，所以采用两步的方法。
主要分为E步和M步。
E步：求关于隐变量的似然函数的期望。一般我们成为Q函数。
M步：通过拉格朗日乘子法最大化Q函数。

高斯混合模型
该模型认为，需要聚类的样本是符合k个多维高斯分布的函数的组合。用公式表示如下：
$$p_{\mathcal{M}}(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i\cdot p\left(\mathbf{x}|{\mathbf{\mu }}_i,{\mathbf{\Sigma }}_i\right)$$
其中α为各个分布的权重，和为1。后面的部分是一个高斯分布。因为该模型就存在隐变量，所以求解使用EM算法。算法的具体推导详见《统计学习方法》李航。

求解该模型的算法如下：

numpy实现的代码如下：

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import clustering as cl


def multi_norm(x, mu, sigma):
    """
    return the probability of Multidimensional gaussian distribution, and there is a better implementation in scipy.stats
    返回多维高斯分布的结果，该方法在scipi库中有更好的实现。
    :param x: x
    :param mu: mean vector
    :param sigma: covariance matrix
    :return: the probability of Multidimensional gaussian distribution
    """
    det = np.linalg.det(sigma)
    inv = np.matrix(np.linalg.inv(sigma))
    x_mu = np.matrix(x - mu).T
    const = 1 / (((2 * np.pi) ** (len(x) / 2)) * (det ** (1 / 2)))
    exp = -0.5 * x_mu.T * inv * x_mu
    return float(const * np.exp(exp))


def distance(a, b, p):
    a = np.array(a)
    b = np.array(b)
    return np.sum((a - b) ** p) ** (1 / p)


def pairing(data, truth, label):
    datatemp = data.copy()
    centerTruth = []
    center = []
    new_label = np.zeros(label.shape) - 1
    for i in range(0, np.max(truth) + 1):
        centerTruth.append(list(np.mean(datatemp[np.argwhere(truth == i)], axis=0)))
        center.append(list(np.mean(datatemp[np.argwhere(label == i)], axis=0)))
    for i in range(0, np.max(truth) + 1):
        temp = []
        for j in range(0, np.max(truth) + 1):
            temp.append(distance(centerTruth[i], center[j], 2))
        number = temp.index(min(temp))
        print(number)
        new_label[label == number] = i
    return new_label


def calcu_acc(truth, label):
    temp = np.zeros(label.shape)
    temp[np.argwhere(label == truth)] = 1
    return np.sum(temp) / label.shape[0]


class GMM(object):
    def __init__(self, n_clusters, max_iter, init_params="random"):
        """
        初始化变量：聚类数目以及最大迭代数
        :param n_clusters: 最大迭代数
        """
        self.max_iter = max_iter
        self.n_clusters = n_clusters
        self.init_params = init_params
        self.num = None
        self.dim = None
        self.X = None
        self.Q = None
        self.weight = None
        self.covar = None
        self.mu = None
        self.labels = None

    def _initialize_params(self, X):
        """
        初试化模型参数,
        :param X: 分类的数据集
        :return:
        """
        self.X = X  # 分类的数据集
        self.num = X.shape[0]  # 样本数目
        self.dim = X.shape[1]  # 特征维度
        self.Q = np.zeros((self.num, self.n_clusters))  # 初始化各高斯分布对观测数据的响应度矩阵
        if self.init_params == "random":
            self.weight = [1 / self.n_clusters] * self.n_clusters  # 初始化各高斯分布的权重为聚类数目分之一
            self.mu = np.random.uniform(0, 1, (self.n_clusters, self.dim)) * np.max(X, axis=0)  # 随机产生均值向量
            self.covar = np.array([np.identity(self.dim) for _ in range(self.n_clusters)])  # 随机产生协方差矩阵
        if self.init_params == "kmeans":
            kmeanmodel = cl.Mykmean(self.n_clusters, 20)
            kmeanmodel.fit(self.X)
            self.mu = kmeanmodel.center
            self.weight = []
            # print(kmeanmodel.labels)
            for i in range(self.n_clusters):
                temp = np.zeros(kmeanmodel.labels.shape)
                temp[kmeanmodel.labels == i] = 1
                self.weight.append(np.sum(temp) / self.num)
            self.covar = np.zeros((self.n_clusters, self.dim, self.dim))
            for i in range(self.n_clusters):
                temp = self.X.copy()
                # print(np.argwhere(kmeanmodel.labels == i).T.tolist())
                temp = temp[np.argwhere(kmeanmodel.labels == i).T.tolist()[0], :]
                self.covar[i, :, :] = np.cov(temp, rowvar=False)
            # print(self.mu)
            # print(self.covar)
            # print(self.weight)

    def e_step(self):
        """
        e步，更新分模型对数据的响应度矩阵Q, 计算公式为
        :return:
        """
        for i in range(self.num):
            q_i = []
            for k in range(0, self.n_clusters):
                postProb = multi_norm(self.X[i, :], self.mu[k, :], self.covar[k, :, :])
                q_i.append(self.weight[k] * postProb)
            self.Q[i, :] = np.array(q_i) / np.sum(q_i)

    def m_step(self):

        # update weight 更新权值矩阵
        self.weight = np.mean(self.Q, axis=0)

        # update mu 更新均值向量
        temp = []
        for k in range(self.n_clusters):
            up = np.zeros(self.dim)
            for j in range(self.num):
                up += self.Q[j, k] * np.array(self.X[j, :])
            down = np.sum(self.Q[:, k])
            temp.append(up / down)
        self.mu = np.array(temp)

        # update covar
        for k in range(self.n_clusters):
            up = np.zeros((self.dim, self.dim))
            for j in range(self.num):
                x_mu = np.matrix(self.X[j, :] - self.mu[k, :])
                # print(x_mu.T*x_mu)
                up += self.Q[j, k] * (x_mu.T * x_mu)
            # print(up)
            down = np.sum(self.Q[:, k])
            var = np.array(up / down)
            self.covar[k, :, :] = var

    def fit(self, X):
        self.X = X
        self._initialize_params(X)
        while self.max_iter > 0:
            # 初始化变量
            # e-step
            self.e_step()
            # m-step
            self.m_step()
            self.max_iter -= 1
        self.labels = np.argmax(self.Q, axis=1)


if __name__ == '__main__':
    iris = load_iris()
    # # 测试post_prob
    # from scipy.stats import multivariate_normal
    # mean = [0, 0,2]
    # cov = [[1, 0,0], [0, 1,0],[0,0,1]]
    # x = [18, 2, 1]
    # var = multivariate_normal(mean, cov)
    # print(var.pdf([18, 2,1]))
    # print(multi_norm(np.array(x), np.array(mean), np.array(cov)))

    # 鸢尾花的数据对比
    from sklearn import mixture
    gmm = mixture.GaussianMixture(n_components=3, init_params="kmeans").fit(iris.data)
    labels = gmm.predict(iris.data)
    label = pairing(iris.data, iris.target, labels)
    acc = calcu_acc(iris.target, label)
    print("GMM acc is :", acc)

    mygmmmodel = GMM(3, 100, init_params="kmeans")
    mygmmmodel.fit(iris.data, )
    label = pairing(iris.data, iris.target, mygmmmodel.labels)
    acc = calcu_acc(iris.target, label)
    print("MYGMM acc is :", acc)

    # 生成数据进行对比
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    # Generate some data
    from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs

    X, y_true = make_blobs(n_samples=400, centers=4,
                           cluster_std=0.60, random_state=0)
    X = X[:, ::-1]  # flip axes for better plotting

    gmm = mixture.GaussianMixture(n_components=4, init_params="kmeans").fit(X)
    labels = gmm.predict(X)
    fig, axs = plt.subplots(1,2)
    ax1 = axs[0]
    ax1.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, s=40, cmap='viridis')
    ax1.set_title("Scipy GMM")

    model = GMM(4, 50, init_params="kmeans")
    model.fit(X, )
    my_label = model.labels
    ax2 = axs[1]
    ax2.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=my_label, s=40, cmap='viridis')
    ax2.set_title("My GMM")
    plt.show()

参数初始化问题
原型聚类一般都有一个局部极值的问题，因此初始化参数的选择就十分重要。在本例中，我选择了以kmeans聚类得到的聚类中心，以及计算每一类的协方差矩阵作为GMM的初试参数。在scipy库中，默认是采用了kmean的方法，当时没考虑到这个，用鸢尾花数据测试时浪费了不少时间。在都用了kmean初始化之后，可以看到结果基本一致。您也可以试试用random初试化得结果，可以init_params改为“random”。

附加：上传的代码中的kmeans聚类初试化参数是自已实现的，读者直接拷贝代码直接运行会报错。如果您想自己实现，可以写一个kmeans聚类或者参考我的另一篇博文kmeans聚类，或者您可以将_initialize_params方法中cl.Mykmeans()函数改为scipy库中的函数。为了保证numpy实现，我就自己不改啦，hah。

鸢尾花数据数据运行结果：
scipy gmm的准确率为：0.9667
自己实现的gmm的准确率为：0.9667

生成数据如下：
tips：ML新手，如果哪里写得不好，大家多多包涵。如果哪里有疑问，欢迎留言讨论。此外，我将继续有间断用numpy实现周志华《机器学习》的算法，欢迎大家关注。