[线性代数]相似对角形(秦静老师主讲)

本博文源于山东大学《线性代数》，学到了相似对角形这一章，其实也会发现对前面的知识需求还是蛮大的。如果没做到，看见题目就懵掉了，根本想不出考点别说相关定理了。博文包括以下八讲内容：

• 矩阵的相似
• 特征值与特征向量的求法
• 特征值与特征向量的性质
• 一般矩阵的相似对角形
• 实对称矩阵特征值与特征向量的性质
• 实对称矩阵的相似对角化
• 相似对角形小结
• 相似对角化习题课

矩阵的相似

相似对角形研究三块内容：特征值与特征向量/一般矩阵的相似对角化/实对称矩阵的相似对角化

矩阵相似定义

设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，使得

则称矩阵A与B相似，记作A~B。可逆阵P称为相似变换矩阵。

矩阵相似的性质

• 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
• 相似==》等价 反之不对
• A~B==>r(A)=r(B)
• A~B==>|A|=|B|
• A~B => A 与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时
  
• A~B => f(A)~f(b)
  
  

矩阵的特征值与特征向量

设A是n阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使Aα=λα，则称数λ为矩阵A的特征值，非零向量α为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

习题

拿到此题，直接套用定义Aα=λα，很明显算出来，α是特征向量。判断特征值直接使用|A-λE|=0这个方法。答案都是是

特征值与特征向量的求法

数学嘛！概念先行！欲穷说理，概念先行！
Aα=λα α≠O.

因此：满足|A-λE|=0的数λ为特征值；
方程组(A-λE)X=O的非零解为特征向量(或基础解系)

例题 求矩阵的特征值与特征向量

把A-λE摆开，然后三阶嘛，直接对角线展开，采用试根法，算出

2就是传说中的重根，把2带进去，算出特征值为2线性无关的特征向量，同理把-7带入到A-λE的式子里，

求特征值与特征向量的步骤

1. 解|A-λE|=0求除λ的值；即得到特征值；
2. 对每一个λ，求方程组(A-λE)X=O的基础解系；即得到属于这个特征值的全部线性无关的特征向量

例题 n阶单位阵的特征值

如果凶猛的话，直接用A-λE做，如果不咋地的，先做三阶找找规律，结果会发现λ等于n，或λ=0，因此n个特征值为n,0,…0（n-1个0）将0对应的特征向量，也一一算一下，会发现重根0，比较繁琐，结果特征向量是：

特征值与特征向量的性质

性质合集

性质1 互异特征值线性无关

性质2 相似矩阵有相同的特征值

定理合集

定理1

对任意n阶方阵A，属于不同特征值的特征向量线性无关。

特征值与特征向量的推论

例题

拿到题目，证明线性无关，先把组合式写出来再说

然后(1)左乘A，为什么左乘，因为Aα=λα。所以并将相关产生的等式代入

然后用λ1乘(1)式，为什么，因为这样相减可以用到互异这个概念，特别棒！

因为β1与β2线性无关，所以两个组合系数=0，还有就是λ1≠λ2因此

最后由于α1，α2，α3线性无关得k1=k2=k3=0,从而向量组组合式线性无关，也就是(1)式子线性无关

特征值的求法公式

设λ为A的特征值，则

特征值与矩阵的关系公式

例题 练习特征值的求法公式

口算啦！|A|为特征值的乘积，A的逆就是特征值的倒数，A的特征值就是|A|/λ如A的行列式为6，λ=1则其中一个特征值为6，A^2+2A+E呢？就是把A=1，-2,-3带入就行了，比如A=1,11+2*1+1=4,整体答案是这样子滴：

一般矩阵的相似对角形

前面讲了矩阵的相似基本概念，还有特征值与特征向量的简单求解。下面就要开始对一般矩阵的相似对角化展开讨论

定理1：相似充要条件

n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。

推论：互异特征值

若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。

定理2：相异特征值与重数关系

矩阵相似对角化的步骤

例题：判断矩阵是否与对角阵相似

求出特征值，发现特征值是互异的，因此能与对角阵相似，因此求出特征向量得出p，进而对角阵就是A矩阵的特征根

实对称矩阵特征值与特征向量的性质

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身，则称矩阵A为实对称阵。

性质1 实对称矩阵的特征值

实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2：实对称矩阵的相异特征值

实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。

性质3：实对称矩阵A的k重特征值

实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个

推论 实对称矩阵A一定与对角阵相似

实对称矩阵A一定与对角阵相似

例题 求可逆矩阵P

拿到题目的时候，先求个特征值，发现特征值为二重的，然后算出相应的特征向量，即可得出P

实对称矩阵的相似对角化

性质1：实对称矩阵的特征值都是实数

实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2：实对称矩阵的相异特征值

实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。

性质3 实对称矩阵A的k重特征值

实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。

定理1 实对称矩阵A一定与对角矩阵相似

实对称矩阵A一定与对角矩阵相似

定理2 实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似

实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似

正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：

口头总结一下：先求出矩阵的特征值，如果相异特征值，别做斯密特，然后重特征值所对应的特征向量做斯密特一下，然后单位化，排成矩阵就是对角阵咯

例题 求正交阵Q

按照步骤一步步解决，题目中A是个2重特征值，因此，要做斯密特

相似对角形小结

本章主要讲述：

• 特征值特征向量
• 一般矩阵的相似对角形
• 实对称矩阵的相似对角形

如果r(A-λE)≠n-r，那就不相等。整一小节的内容也就是围绕这些，整体的框架图应该是这样子的