【时间序列分析】时间序列预处理

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Time Series Analysis
author：zoxiii

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【参考文献】王燕. 应用时间序列分析-第5版[M]. 中国人民大学出版社, 2019.

1、平稳时间序列的统计特征

1.1-均值

$$E(x_t)={\mu }_t,\forall t\in T$$

1.2-方差

$$D{X}_t=\gamma (t,t)=\gamma (0),\forall t\in T$$

1.3-延迟k自协方差函数

$$\gamma (k)=\gamma (t,t+k)$$
估计值：
$$\hat{\gamma }(0)=\frac{{\sum }_{t=1}^n(x_t-\overline{x}{)}^2}{n-1}$$

1.4-延迟k自相关函数

$${\rho }_k=\frac{\gamma (t,t+k)}{\sqrt{D{X}_t\cdot D{X}_{t+k}}}=\frac{\gamma (k)}{{\sigma }_x^2}=\frac{\gamma (k)}{\gamma (0)}$$
当$k\ll n$时：

$${\hat{\rho }}_k\approx \frac{{\sum }_{t=1}^{n-k}(x_t-\overline{x})(x_{t+k}-\overline{x})}{{\sum }_{t=1}^n(x_t-\overline{x}{)}^2},\forall 0\le k\le n$$

2、平稳性检验

2.1-图检验

（1）时序图

在一个常数附近随机波动，而且波动的范围有界，无明显趋势及周期特征

（2）自相关图

2倍标准差公式

• 如果样本自相关系数和样本偏自相关系数在最初的阶明显大于2倍标准差，而后几乎95%的系数都落在2倍标准差的范围内，且非零系数衰减为小值波动的过程非常突然，通常视为k阶截尾；
• 如果有超过5%的样本相关系数大于2倍标准差，或者非零系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或连续，通常视为拖尾。

（3）偏自相关图

• 与自相关图类似

2.2-统计检验

（1）单位根检验

• DF检验
• ADF检验
• PP检验

（2）平稳域检验

• 见AR模型详解

3、纯随机性检验(白噪声检验)

LB统计量

$$LB=n(n+2)\sum _{i=1}^k(\frac{{\hat{\rho }}_i^2}{n-i})$$

其中
n为序列观察期数；k为指定延迟期数

• P值显著大于显著性水平$\alpha$，不能拒绝纯随机的假设。