AtCoder Beginner Contest 236:E Average and Median

E Average and Median
题目具体题面见上述链接

题目大意

给出一个序列 $a_{1..n}$ 长度为n，分别从中选择一些元素，使得平均数最大，以及中位数最大。对于每一个 $i(1\le i<n)$ ,其中$a_{i-1},a_i$至少有一个要被选中。

题解

本题的步骤分成2步，如何使得平均数最大以及如何使得中位数最大。
这两个问题是完全独立的，互不干涉，所以本题我们可以看成是由两个问题组成。
第一个问题是，如何取数使得平均数最大？
如果我们直接使用动态规划求解平均数最大，很难设计一个正确的转移策略，原因是子状态的平均数会对接下来的平均数造成影响，不满足无后效性的特点。
因此，我们可以二分答案平均数来确定平均数最大的情况。
对于答案k,我们可以检验有没有取法，使得最后的平均数大于k。
如果有，就在二分的后半段区间内继续探索答案，否则就在前半段探索答案。
二分答案的检验方法是什么呢？
假如我们选了一些数$b_{1..m}$ ,这些数的平均数如果比k大，就满足$\Sigma (b_i-k)$ >=0。
根据上述，我们在 $a_{1..n}$ 中选择一些数，满足取的每一个数与k作差后的和最大。然后将最大值与0比较即可。
对于这个求最大的过程，我们就可以使用动态规划从前往后进行转移了。
f[1][ i ],表示从第一个位置到当前位置 i，并且取$a_i$ 时$\Sigma (b_j-k)$($b_j$ 是位于位置i之前的数) 的最大值，f[0][i]则表示不取$a_i$的最大值。
转移方程为

f[1][i] = max(f[1][i - 1] + a[i] - k,f[0][i - 1] + a[i] - k)
f[0][i] = f[1][i - 1]
如果a[i] 不取，那么a[i - 1]只能取

完成了第一个问题，接下来第二个问题，如何取使得中位数最大？
有了平均数的解法，我们就很容易想到中位数其实也可以用二分答案探测来求解。
对于答案k，如果能有取法，使得中位数比k大，那么这些数中一定满足至少一半的数比k大。
那么，我们要尽量少取比k小的数，尽量多取比k大的数。
在 动态规划的过程中，对于取到比k小的数，看错 -1 贡献，比k大的数，看成 +1 贡献。最后的贡献结果如果正的，就说明至少取的数中有一半比k大，中位数比k大。
转移方程为

now = a[i]>k?1:-1;
f[1][i]=max(f[1][i - 1]+now,f[0][i - 1]+now)
f[0][i]=f[1][i-1]
如果a[i] 不取，那么a[i - 1]只能取

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