变换矩阵的意思_仿射变换及其变换矩阵的理解(详细解析)
目录
写在前面
仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射
变换矩阵形式
变换矩阵的理解与记忆
变换矩阵的参数估计
参考
写在前面
2D图像常见的坐标变换如下图所示：
这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation)，而将重点放在仿射变换(affine transformation)，将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。
仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射
仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：
平移(translation)和旋转(rotation)顾名思义，两者的组合称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid transformation)；
放缩(scaling)可进一步分为uniform scaling和non-uniform scaling，前者每个坐标轴放缩系数相同(各向同性)，后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射(reflection)——reflection可以看成是特殊的scaling；
刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换(similarity transformation)，即平移+旋转+各向同性的放缩；
剪切变换(shear mapping)将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。
各种变换间的关系如下面的venn图所示：
通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。
变换矩阵形式
没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述：
[x′y′]=[abcd][xy]" role="presentation" style=" display: inline; line-height: normal; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">
不同变换对应的a,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换(linear transformation)，其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是原点位置不变，多次线性变换的结果仍是线性变换。
为了涵盖平移，引入齐次坐标，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示：
所以，仿射变换的变换矩阵统一用 
来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：
此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度(θ,tx,ty)，这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同，
[cos(θ)−sin(θ)txsin(θ)cos(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]" role="presentation" style=" display: inline; line-height: normal; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度(s,θ,tx,ty)，如下：
[scos(θ)−ssin(θ)txssin(θ)scos(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]" role="presentation" style=" display: inline; line-height: normal; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度(a,b,c,d,e,f)。
变换矩阵的理解与记忆
坐标系由坐标原点和基向量决定，坐标原点和基向量确定了，坐标系也就确定了。
对于坐标系中的位置(x,y)，其相对坐标原点在[1,0]方向上的投影为x，在[0,1]方向上的投影为y——这里投影的意思是过(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)实际为：
当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化，但点相对新坐标系(x′−y′坐标系)的位置不变仍为(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)]，所以点变化到新位置为：
新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−y" role="presentation" style=" display: inline; line-height: normal; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; ">x−yx−y坐标系)而言的。其他变换矩阵同理。
总结一下：
这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。
变换矩阵的参数估计
如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？
一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。
参考
Image Alignment and Stitching: A Tutorial
wiki: Affine transformation
Geometric Transformation
Coordinates and Transformations
Transformations
Geometric Transformations
Image Geometry
申明：原文来源网络，由《计算机视觉社区》公众号整理分享大家，仅供参考学习使用，不得用于商用，引用或转载请注明出处！如有侵权请联系删除！
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