ComSec作业五：椭圆曲线

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前言

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一、求椭圆曲线上的点

解:

X	0	1	2	3	4	5	6
$y^2=x^3+2x+1$	1	4	6	6	3	3	5
QR	Y	Y	N	N	N	N	N
Y	1,6	2,5

所有在 $E_7(2,1)$ 上的点有：（0,1）（0,6）（1,2）（1,5）

 
 

二、椭圆曲线上点的加法逆元

解：$-$P = (3,-5) = (3,-5 mod 7) = (3,2)
    $-$Q = (2,-5) = (2,-5 mod 7) = (2,2)
    $-$R = (5,0)

 
 

三、椭圆曲线上点的加法运算

解；由题知，p = 11， a = 1， b = 7

    令 $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_3,y_3)\in E$

    则有  $x_3=({\lambda }^2-x_1-x_2$)  mod  p
          $y_3=(\lambda (x_1-x_3)-y_1$)  mod   p

    其中，$\lambda =$ $(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})$  mod   p ， $x_1\ne x_2$

          $\lambda =$ $(\frac{3x_1^2+a}{2y_1})$ mod   p ， $x_1=x_2$

 
（1）求 2G 的值：
    $\because$ 2G $=$ G + G

    $\therefore$ $\lambda =$ $(\frac{3x_1^2+a}{2y_1})$  mod   p $=(\frac{27+1}{4})$ mod 11 = 4

    $\therefore$ $x_3=({\lambda }^2-x_1-x_2$)  mod  p $=$ (49-6) mod 11 $=$ 10
    $\therefore$ $y_3=(\lambda (x_1-x_3)-y_1$)  mod   p $=$ [7 x (3-10) - 2] mod 11 = (7x4-2) mod 11 = 4
    $\therefore$ 2G $=$ (10,4)
 
 
（2）求 3G 的值：
    $\because$ 3G $=$ G + 2G

    $\therefore$ $\lambda =$ $(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})$  mod   p $=(\frac{2}{7})$ mod 11 = 5

    $\therefore$ $x_3=({\lambda }^2-x_1-x_2$)  mod  p $=$ (25-3-10) mod 11 $=$ 1
    $\therefore$ $y_3=(\lambda (x_1-x_3)-y_1$)  mod   p $=$ [5 x (3-1) - 2] mod 11 = 8
    $\therefore$ 2G $=$ (1,8)
 
 

其余几项的计算类同于此，计算结果如下：

	G	2G	3G	4G	5G	6G	7G	8G	9G	10G	11G	12G	13G
$\lambda$		7	5	8	1	6	4	2	4	6	1	8	5
	(3,2)	(10,4)	(1,8)	(5,4)	(4,8)	(7,7)	(6,8)	(6,3)	(7,4)	(4,3)	(5,7)	(1,3)	(10,7)

 
 

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总结

可以应用几何学知识使椭圆曲线上的点形成一个加法群，
同时通过这些群操作，我们会更好的了解椭圆曲线的性质，并对其进行进一步的研究和应用

CINTA作业九：QR