方如一
方如一

状态方程离散化处理

连续状态空间方程：

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

1欧拉法

1.1 状态方程

将\dot{x}(t)=\frac{x(k+1)-x(k)}{T}代入状态方程得

\frac{x(k+1)-x(k)}{T}=Ax(k)+Bu(k)

化简为x(k+1)=(AT+I)x(k)+BTu(k)

1.2 输出方程

输出方程为y(k+1)=Cx(k+1)+Du(k+1)

将x(k+1)表达式代入上式得

y(k+1)=C(AT+I))x(k)+CBTu(k)+Du(k+1)

1.3 离散化后的状态空间方程

x(k+1)=(AT+I)x(k)+BTu(k)

y(k+1)=C(AT+I))x(k)+CBTu(k)+Du(k+1)

其实欧拉法属于不精准的离散化。

2 公式法

2.1 状态方程

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)的离散公式为

x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)，其中A_{d}=e^{AT}，B_{d}=\int_{0}^{T}e^{As}Bds，即

x(k+1)=e^{AT}x(k)+\int_{0}^{T}e^{As}Bdsu(k)

2.2 输出方程

y(k)=Cx(k)+Du(k)

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