高等数学知识框架梳理

高等数学分为上下册。上册主要有：极限、一元微分学、一元积分学三部分，下册主要有多元微分学、多元积分学、无穷级数、微分方程等部分。

第一章 极限

1. 函数极限

1.1 函数极限的定义及使用

五大性质——

• 是常数
• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性
• 等式脱帽法

1.2 函数极限的计算

• 化简先行
• 洛必达法则
• 泰勒公式
• 无穷小比阶

1.3 函数极限的存在条件

• 具体型——若洛必达失效，用夹逼准则
• 抽象型——单调有界准则

1.4 函数极限的应用——连续与间断

• 研究位置
• 连续
• 间断

2. 数列极限

2.1 数列极限的定义及使用

五大性质——

• 是常数
• 唯一性
• 有界性
• 保号性
• 收敛的充要条件

2.2 数列极限的存在性与计算

• 归结原则（变量连续化）
• 直接计算法
• 定义法（先斩后奏）
• 单调有界准则
• 夹逼准则
• 综合

• 用导数综合
• 用积分综合
• 用中值定理综合
• 用方程（列）综合
• 用区间（列）综合
• 用极限综合

第二章 一元函数微分学

1. 导数定义（导数在一点的存在问题）

2. 导数计算

3. 导数的几何应用

4. 一元函数微分学的证明性应用

4.1 中值定理

4.2 不等式问题

4.3 等式问题

5. 一元函数微分学的物理应用

第三章 一元函数积分学

1. 概念与性质

2. 计算

2.1 基本积分公式

2.2 不定积分的计算

2.3 定积分的计算

2.4 变限积分的计算

2.5 反常积分的计算

3. 积分等式与积分不等式

4. 几何应用

5. 物理应用

第四章 多元函数微分学

1. 概念

2. 复合函数求导

2.1 链式求导规则

2.2 全导数

2.2 全微分形式不变性

3. 隐函数求导法

3.1 一个函数的情形

3.2 方程组的情形

4. 多元函数的极、最值问题

4.1 条件极值与拉格朗日乘数法

4.2 无条件极值

4.3 多元函数的泰勒公式

5. 偏微分方程

第五章 二重积分

1. 概念

1.1 和式极限

1.2 普通对称性

1.3 轮换对称性

1.4 二重积分比大小

1.5 周期性

2. 计算

2.1 直坐标系与换序

2.2 极坐标系与换序

2.3 直极互化

3. 应用

3.1 面积

3.2 主体体积

3.3 总质量

3.4 质心坐标

3.5 转动惯量

第六章 微分方程

1. 一阶微分方程的求解

2. 二阶可降阶微分方程的求解

3. 高阶常系数线性微分方程的求解

4. 用换元法求解微分方程

5. 应用题

5.1 用极限或导数定义建方程

5.2 用几何应用建方程

5.6 用变化率建方程

第七章 无穷级数

1. 数项级数的判敛问题

2. 幂级数的收敛域

3. 级数展开问题

4. 级数求和问题

5. 傅里叶级数

第八章 多元函数积分学

1. 预备知识

• 空间曲线的切线与法平面
• 空间曲线的切平面与法线
• 空间曲线在坐标面的投影
• 旋转曲面
• 向量运算及应用
• 平面、直线及位置关系
• 场论初步：梯度、散度、旋度

2. 三重积分

• 概念与对称性
• 计算
• 应用

3. 第一型曲线积分

• 概念与对称性
• 计算（一投二代三计算）化为定积分
• 应用——物质曲干

4. 第一型曲面积分

• 概念与对称性
• 计算（一投二代三计算）化为二重积分
• 应用——物质曲面

5. 第二型曲线积分

• 概念——做功
• 计算

• 基本方法 一投二代三计算（化为定积分）
• 格林公式
• 两类曲线积分的关系
• 空间问题——Stokes

6. 第二型曲面积分

• 概念——通量
• 计算

• 基本方法——一投二代三计算（化为二重积分）
• 转换投影法
• 高斯公式
• 两类曲面积分的关系

这里把总体的知识框架进行梳理，之后会一章章详细复习。开启我们的数学之旅吧！