C语言解线性方程组
C语言解线性方程组
情况是这样，我->对象->C语言作业->解线性方程组。
文章目录
- C语言解线性方程组
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- 1.一般的高斯消元解法（完整代码在小节最后）
- 2.Cholesky法求正定对称矩阵的线性方程组（完整代码在小结最后）
- 3.追赶法解线性方程组（待更新）
1.一般的高斯消元解法（完整代码在小节最后）
高斯消元解法的思想就是，对系数矩阵A做初等行变换，得到一个上三角矩阵，从最后一行开始，逐个解方程组。
这里考虑的情况是系数矩阵A满秩，所以最后一行只有对角线上有一个非零元素，可以直接得到 x n x_n xn的解；
它的上一层有两个非零元素，其中 x n x_n xn已求得，故可以一步计算出 x n − 1 x_{n-1} xn−1；
…
依此类推，便可以求得所有的未知数 x 1 , 2 , . . . , n x_{1,2,...,n} x1,2,...,n。
例子如下：
初等行变化函数：
//这里函数把A处理为上三角矩阵，但没有处理为标准上三角矩阵，即不保证每一行的首个非零元素为1
void rowTrans(double array[MAX][MAX], int n){
// 做初等行变换
int i,j,k;
double tmp; //暂存乘积因子
double zero=1e-6; //两浮点数差距小于1e-6视为相等
for(i=0;i<n-1;i++){
k=1;
while(fabs(array[i][i]-0.0)<zero && i+k<n){
swapArray(array,i,i+(k++),n);
}
for(j=i+1;j<n;j++){
if(array[j][i]==0.0) //如为0则那一行不用化简
continue;
else{
tmp = -(double)array[j][i]/array[i][i]; //保存乘积因子
for(k=i;k<n;k++)
array[j][k] += (tmp*array[i][k]);
}
}
}
}
解系数矩阵A为上三角方程组的函数：
void solveUpperEquations(double A[MAX][MAX], double x[MAX], double b[MAX], int n){
//求解系数矩阵为上三角矩阵的线性方程组
int i,j;
copyArray(b,x,n);
for(i=n-1;i>=0;i--){
for(j=i+1;j<n;j++){
x[i]-=A[i][j]*x[j];
}
x[i]/=A[i][i];
}
}
再补充一个解系数矩阵A为下三角方程组的函数：
void solveLowerEquations(double A[MAX][MAX], double x[MAX], double b[MAX], int n){
//求解系数矩阵为下三角矩阵的线性方程组
int i,j;
copyArray(b,x,n);
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<i;j++){
x[i]-=A[i][j]*x[j];
}
x[i]/=A[i][i];
}
}
一些工具函数：
//输出矩阵内容
void printMatrix(double array[MAX][MAX], int n){
int i,j;
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
printf("%lf",array[i][j]);
if(j==n-1){
printf("\n");
}else{
printf("\t");
}
}
}
}
//输出数组内容
void printArray(double x[MAX], int n){
int i;
for(i=0;i<n;i++){
printf("%lf",x[i]);
if(i==n-1){
printf("\n");
}else{
printf("\t");
}
}
}
//交换函数
void swap(double* a,double*b){
double tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
//交换数组元素
void swapArray(double array[MAX][MAX],int a,int b,int n){
int i;
for(i=0;i<n;i++)
swap(&array[a][i],&array[b][i]);
}
void copyMatrix(double a[MAX][MAX], double b[MAX][MAX], int n){
int i,j;
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;i++){
b[i][j]=a[i][j];
}
}
}
void copyArray(double a[MAX], double b[MAX], int n){
int i;
for(i=0;i<n;i++){
b[i]=a[i];
}
}
完整代码如下：
#include 2.Cholesky法求正定对称矩阵的线性方程组（完整代码在小结最后）
Cholesky分解又称平方分解法，是把一个正定对称的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。
已知，满秩矩阵可以做LU分解，同理也可以LDU分解。
对于一个正定对称矩阵，它显然也可以做LDU分解，不过特殊的是，把D对角线上的每个元素都开平方，分别乘给L和U，则可以得到 L L L和 L T L^T LT，使得 A = L ∗ L T A=L*L^T A=L∗LT。
我使用的求法是，给系数矩阵A做（没有整除某个非零数的，即不刻意得把每一行的非零首元化为1）初等行变换，得到上三角矩阵。该方法得到的上三角矩阵即为DU，对D对角线上的每个元素做平方处理，得到的结果再与U相乘，即得到 L T L^T LT。
例子如下：
完整代码如下：
#include