数字信号处理-5-傅里叶分析

1 傅里叶系数

傅里叶级数用公式如下：

a₀、a₁、a₂、a₃…b₁、b₂、b₃…叫做傅里叶系数。cosnx 或 sinnx 中的 n 对应着频率，决定 sin、cos 大小的系数是 a_n、b_n。

2 傅里叶变换

步骤1 求傅里叶系数

从原波形 F(x) 中求傅里叶系数中的 a₀、a₁、a₂、a₃…b₁、b₂、b₃…叫做“求解傅里叶系数”。也就是，从各种频率成分中，抽取出某一特定的成分的过程。

求解特定成分的频率需要用到函数的正交，正交函数乘积的定积分结果为 0。sinnx 与 cosnx 都与自身不成正交关系。

首先求 cos 的傅里叶系数 a_n，如果想要结果只剩下 a_ncosnx，那么将 F(x) 全体乘以 cosnx，然后做定积分，这样就剩下一个 cos 函数的积分值，其它函数都因为正交关系积分结果都为 0。

$${\int }_0^{2\pi }F(x)cosnxdx={\int }_0^{2\pi }{a}_n\ast cosnx\ast cosnxdx=a_n{\int }_0^{2\pi }cosnx\ast cosnxdx$$

而 cosnx 与自身不正交，sinnx 与 cosnx 的定积分结果都等于 π

cosnx 对应的系数是 a_n,那只要求出式子的积分值，然后除以 π 就行了。
$${\int }_0^{2\pi }F(x)cosnxdx={\int }_0^{2\pi }{a}_{n}cosnx\ast cosnxdx=a_n\pi$$
也即：

对于 a₀。复杂的波形实际上是由许多 sin 和 cos 函数组成。无论是 sin 还是 cos 函数，整周期内它们的图围成的面积都是 0。而多出来的部分就是 a₀。

即使是复杂的波形，面积也等于 2πa₀，所以

到此就得到求傅里叶系数的三个表达式：

步骤2 计算振幅

算出来的 sinnx 与 cosnx 具有相同的周期(频率)，需要综合两者以求得该频率成分的大小：

步骤3 绘制频率谱

按照 n（频率）从小到大的顺序排列画在图形中就得到了频率谱。

参考

漫画傅里叶解析
Python数字信号处理应用