深度学习基础--神经网络（4）参数更新策略，梯度法

导数

导数：表示某个瞬间的变化量，公式定义：
$$\frac{df(x)}{dx}=li{m}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
求导的代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def function_1(x):
    """函数y = 0.01x^2+0.1x"""
    return 0.01 * x ** 2 + 0.1 * x


def numerical_diff(func, x):
    """函数的导数(梯度)"""
    h = 1e-4
    return (func(x + h) - func(x - h)) / (2 * h)


def tangent_line(f, x):
    """切线"""
    d = numerical_diff(f, x)  # x点处切线斜率, 即变化率
    c = f(x) - d * x
    """
    切线格式：y = dx + c
    切线与函数f(x)交于切点(传入的x就是切点横坐标x,f(x)就是切点纵坐标y)
    c = y - dx, 即上面那行代码c = f(x) - d * x
    同时也是下面返回值lambda函数的格式t(x) = dx+c
    """
    return lambda t: d * t + c


print(numerical_diff(function_1, 5))
# 0.1999999999990898, 函数f(x)在x=5处的导数,即此处的斜率
print(numerical_diff(function_1, 10))
# 0.2999999999986347, 函数f(x)在x=10出的导数, 即此处的斜率


x = np.arange(0.0, 20.0, 0.1)
y = function_1(x)

df1 = tangent_line(function_1, 5)
y2 = df1(x)  # y2 = dx + c, x = 5

df1 = tangent_line(function_1, 10)
y3 = df1(x)  # y3 = dx + c, x = 10

plt.plot(x, y, label="f(x)")
plt.plot(x, y2, label="tangent_line at x=5")
plt.plot(x, y3, label="tangent_line at x=10")
plt.scatter(5, function_1(5))
plt.scatter(10, function_1(10))
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("f(x) = 0.01x^2+0.1x")
plt.legend()
plt.show()

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偏导数

针对二元或多元的函数而言，比如
$$f(x_0,x_1)=x_0^2+x_1^2$$
该函数的代码实现：

import numpy as np


def function_2(x):
    """函数f(x0, x1) = x0 ^ 2 + x1 ^ 2"""
    return np.sum(x ** 2)


x = np.array([1, 2])
f = function_2(x)
print(f)  # 5

该函数的偏导数：
$$对x_0的偏导数:\frac{\partial f}{\partial x_0}=2x_0$$
求某个的偏导数就把另一个当作常数

梯度

$$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_1})$$

如上式，由全部变量的偏导数汇总成的向量称为梯度

梯度的代码实现：

import numpy as np


def function_g(x):
    """f(x0, x1) = x0 ^ 2 + x1 ^ 2"""
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2


def numerical_gradient(f, x):
    h = 1e-4  # 0.0001
    grad = np.zeros_like(x)  # 生成和x形状相同的数组
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        # f(x+h)的计算
        x[idx] = tmp_val + h
        fxh1 = f(x)
        # f(x-h)的计算
        x[idx] = tmp_val - h
        fxh2 = f(x)
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2 * h)
        x[idx] = tmp_val  # 还原值
    return grad


print(numerical_gradient(function_g, np.array([0.0, 2.0])))  # [0. 4.]
print(numerical_gradient(function_g, np.array([3.0, 4.0])))  # [6. 8.]
print(numerical_gradient(function_g, np.array([3.0, 0.0])))  # [6. 0.]

作者提供的代码，负梯度的方向：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


def _numerical_gradient_no_batch(f, x):
    h = 1e-4 # 0.0001
    grad = np.zeros_like(x)
    
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        x[idx] = float(tmp_val) + h
        fxh1 = f(x) # f(x+h)
        
        x[idx] = tmp_val - h 
        fxh2 = f(x) # f(x-h)
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)
        
        x[idx] = tmp_val # 还原值
        
    return grad


def numerical_gradient(f, X):
    if X.ndim == 1:
        return _numerical_gradient_no_batch(f, X)
    else:
        grad = np.zeros_like(X)
        
        for idx, x in enumerate(X):
            grad[idx] = _numerical_gradient_no_batch(f, x)
        
        return grad


def function_2(x):
    if x.ndim == 1:
        return np.sum(x**2)
    else:
        return np.sum(x**2, axis=1)


def tangent_line(f, x):
    d = numerical_gradient(f, x)
    print(d)
    y = f(x) - d*x
    return lambda t: d*t + y
     
if __name__ == '__main__':
    x0 = np.arange(-2, 2.5, 0.25)
    x1 = np.arange(-2, 2.5, 0.25)
    X, Y = np.meshgrid(x0, x1)
    
    X = X.flatten()
    Y = Y.flatten()
    
    grad = numerical_gradient(function_2, np.array([X, Y]) )
    
    plt.figure()
    plt.quiver(X, Y, -grad[0], -grad[1],  angles="xy",color="#666666")#,headwidth=10,scale=40,color="#444444")
    plt.xlim([-2, 2])
    plt.ylim([-2, 2])
    plt.xlabel('x0')
    plt.ylabel('x1')
    plt.grid()
    plt.legend()
    plt.draw()
    plt.show()

运行截图：

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梯度法寻找最优参数

如上面的图可以看到，梯度表示的是各点处的函数值减少最多的方向，而无法保证梯度所指方向就是函数的最小值。

函数的极小值、最小值以及被称为鞍点的地方梯度为。

极小值就是局部最小值，也就是限定在某个范围内的最小值。

鞍点是从某个方向上看是极大值，从另一个方向上看则是极小值的点。

梯度为0不一定就是最小值，也可能是极小值或者鞍点

当函数很复杂且成扁平状，学习可能会陷入无法前进的停滞期

梯度法：通过不断地沿梯度方向前进，逐渐减小函数值的过程就是梯度法。

梯度法的数学表示：
$$x_0=x_0-\eta \frac{\partial f}{\partial x_0},x_1=x_1-\eta \frac{\partial f}{\partial x_1}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$
$\eta$：学习率，决定在一次学习中，应该学习多少，在多大程度上更新参数。

学习率需要事先确定为某个值，比如0.01或0.001。类似这样人工设定的参数叫超参数

在神经网络的学习中，一般会一边改变学习率的值，一边确认学习是否正确进行了。

梯度下降法代码实现：

import numpy as np


def function_g(x):
    """f(x0, x1) = x0 ^ 2 + x1 ^ 2"""
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2


def numerical_gradient(f, x):
    """
    梯度
    使用的依然是导数的公式
    由所有偏导数组成的向量
    """
    h = 1e-4  # 0.0001
    grad = np.zeros_like(x)  # 生成和x形状相同的数组
    # print(x.size)
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        # f(x+h)的计算
        x[idx] = tmp_val + h
        fxh1 = f(x)
        # f(x-h)的计算
        x[idx] = tmp_val - h
        fxh2 = f(x)
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2 * h)
        x[idx] = tmp_val  # 还原值
    return grad


def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
    """
    梯度下降法
    返回使函数 f 值最小的参数 x
    """
    x = init_x
    for i in range(step_num):
        grad = numerical_gradient(f, x)
        x -= lr * grad
    return x


# 输出三个位置对应的梯度
print(numerical_gradient(function_g, np.array([0.0, 2.0])))  # [0. 4.]
print(numerical_gradient(function_g, np.array([3.0, 4.0])))  # [6. 8.]
print(numerical_gradient(function_g, np.array([3.0, 0.0])))  # [6. 0.]

x_input = np.array([-3.0, 4.0])
print(gradient_descent(function_g, init_x=x_input, lr=0.1, step_num=100))  # [-6.11110793e-10  8.14814391e-10]

梯度下降法可视化：

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from gradient_2d import numerical_gradient


def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
    x = init_x
    x_history = []

    for i in range(step_num):
        x_history.append(x.copy())

        grad = numerical_gradient(f, x)
        x -= lr * grad

    return x, np.array(x_history)


def function_2(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2


init_x = np.array([-3.0, 4.0])

lr = 0.1
step_num = 20
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)

plt.plot([-5, 5], [0, 0], '--b')
plt.plot([0, 0], [-5, 5], '--b')
plt.plot(x_history[:, 0], x_history[:, 1], 'o')

plt.xlim(-3.5, 3.5)
plt.ylim(-4.5, 4.5)
plt.xlabel("X0")
plt.ylabel("X1")
plt.show()

运行结果：

原点处是函数$f(x_0,x_1)=x_0^2+x_1^2$的最小值，函数的取值一点点在向其靠近

神经网络的参数

上面求函数$f(x_0,x_1)=x_0^2+x_1^2$的最小值。

下面来对比求损失函数$L$的最小值。

	函数	损失函数
参数	$x_0,x_1$	权重$W=\left(\begin{array}{c}{w}_{11},w_{12},w_{13}\\ w_{21},w_{22},w_{23}\end{array}\right)$
梯度	$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_1})$	$\frac{\partial L}{\partial W}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial w_{11}},\frac{\partial L}{\partial w_{12}},\frac{\partial L}{\partial w_{13}}\\ \frac{\partial L}{\partial w_{21}},\frac{\partial L}{\partial w_{22}},\frac{\partial L}{\partial w_{23}}\end{array}\right)$

损失函数计算：

使用的激活函数为softmax

def softmax(x):
    """softmax激活函数"""
    if x.ndim == 2:
        x = x.T
        x = x - np.max(x, axis=0)
        y = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=0)
        return y.T

    x = x - np.max(x)  # 溢出对策
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

损失函数为交叉熵误差

def cross_entropy_error(y, t):
    """交叉熵误差"""
    if y.ndim == 1:
        t = t.reshape(1, t.size)
        y = y.reshape(1, y.size)

    # 监督数据是one-hot-vector的情况下，转换为正确解标签的索引
    if t.size == y.size:
        t = t.argmax(axis=1)

    batch_size = y.shape[0]
    return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)) / batch_size

import numpy as np
import activate_functions as af
import loss_functions as ls
import gradient as grad


class SimpleNet:
    def __init__(self):
        """初始化权重参数"""
        self.W = np.random.randn(2, 3)  # 用随机数生成2行3列的矩阵

    def predict(self, x):
        """预测, x为输入"""
        return np.dot(x, self.W)  # x为输入的矩阵，与权重W矩阵相乘

    def loss(self, x, t):
        """计算损失函数"""
        z = self.predict(x)
        y = af.softmax(z)
        loss = ls.cross_entropy_error(y, t)
        return loss


net = SimpleNet()  # 创建SiampleNet对象
x = np.array([0.6, 0.9])  #  输入为x0 = 0.6, x1 = 0.9
p = net.predict(x)  # 前向传播，预测结果
print(p)  # softmax的结果
print(np.argmax(p))  # 以softmax结果的最大值元素的下标作为预测结果
t = np.array([0, 1, 0])  # 设定正确解的为1
print(net.loss(x, t))  # 输出loss

"""输出此时梯度"""
f = lambda w: net.loss(x, t)
dW = grad.numerical_gradient(f, net.W)
print(dW)

输出结果：

最后的2行三列的矩阵就是此时的梯度，意思是：

$w_{11}=0.37723279$：如果$w_{11}$增加$h$,那么损失函数的结果loss值就会增加0.37723279。

那么我们希望损失函数越小越好，因此如果梯度为正数那么该参数就该往负梯度方向更新，如果梯度为负数，那么该参数就该向梯度方向更新