角度回归（复数与欧拉公式，L1，L2）

1 BEV下，Eula 损失函数

Yolo-complex的论文中，对于BEV视角下，目标检测的角度使用了Eula 损失函数

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一

2 BEV下，PointPillars使用sin联合SmoothL1

论文：PointPillars

smooth L1损失函数
其实顾名思义，smooth L1说的是光滑之后的L1，前面说过了L1损失的缺点就是有折点，不光滑，导致不稳定，那如何让其变得光滑呢？smooth L1损失函数为：

smooth L1损失函数曲线如下图所示，作者这样设置的目的是想让loss对于离群点更加鲁棒，相比于L2损失函数，其对离群点（指的是距离中心较远的点）、异常值（outlier）不敏感，可控制梯度的量级使训练时不容易跑飞。

3 透视图下， MultiBin 全局方向损失

论文：【3DBBox】3D Bounding Box Estimation Using Deep Learning and Geometry
论文：CenterNet :Objects as Points

车辆全局方位角θ = θl +θray，即它们的组合效果是汽车的恒定全局方向。

给定固有的相机参数，特定像素的光线方向计算起来很简单。在推理时，我们将裁剪中心的光线方向与估计的局部方向结合起来，以计算对象的全局方向。

边界框的空间划分为几个称为锚框的离散模式，然后估计连续偏移需要应用于每个锚框。我们首先将方向角离散化并将其划分为 n 个重叠的 bin。对于每个 bin，CNN 网络估计输出角度位于第 i 个 bin 内的置信概率 ci 和需要应用于该 bin 中心光线方向的剩余旋转校正以获得输出角度。剩余旋转由两个数字表示，分别为角度的正弦和余弦。这导致每个 bin i 有 3 个输出：(ci,cos(Δθi),sin(Δθi))。
有效的余弦和正弦值是通过 L2 normalization layer on top of a 2-dimensional input 获得的。

Lloc定位损失试图最小化真实值与覆盖该值的所有 bin 之间的差异，这相当于最大化余弦距离.其中 nθ∗ 是覆盖真实角度 θ∗ 的 bin 数量，ci 是 bin i 中心的角度，Δθi 是需要应用于 bin i 中心的变化。
在推理过程中，选择具有最大置信度的 bin，并通过将该 bin 的估计 Δθ 应用于该 bin 的中心来计算最终输出。 Multi-Bin 模块有 2 个分支。一个用于计算置信度 ci，另一个用于计算 Δθ 的余弦和正弦。因此，需要为 n 个 bin 估计 3n 个参数。

有效的余弦和正弦值是通过在二维输入之上应用 L2 归一化层获得的

4 L1/L2-norm 的周期损失函数

【论文】RAPiD: Rotation-Aware People Detection in Overhead Fisheye Images

由于边框在被π旋转后保持不变，因此角度损失函数必须满足π(θb)=角度(π，θb+π)，即必须是关于θb的角度周期函数。

长和宽度值，对应的对称是 π/2，因此推出：