密码学-数论基础

数论基础

整除性和带余除法

• 整除性：b整除a ：b|a、b是a的一个因子
  • 性质：a|1 ,a=+(-)1
• 带余除法：a=qn+r,|r|<|n|,q=a/n向下取整，余数的符号和除数同号

欧几里得算法

• gcd(a,b) = gcd(b,a%b=r),where a>=b>0 and a%b! = 0
• )]

模运算

• a除以n所得的余数为a模n，记为a mod n，n成为模数，ex:余数与模数同号

• 同余：（a mod n）=（b mod n）称为a和b是模n同余，记为a=b（mod n）

• 性质：

  • 相减的两个数可被模数整除，则这两个数同余
  • 交换律
  • 传递性

• 模算数运算

1、2、3可以这样理解：模两数的余数的运算等于模两数运算，运算中包括了对期间模数的去重

幂运算也如此

• 模运算的单位元：模+的单位元为0，模x运算的单位元为1

• 逆元：

  • （a+b）mod n =0，称a在mod n运算中加法逆元为b
  • （a x b）mod n =1，称a在mod n运算中乘法逆元为b

• 模运算的性质：

  • 剩余类集：定义比n小的非负整数集合为Zn={0，….,(n-1)},

  • 剩余类：Zn中每个元素都代表一个剩余类，模n的剩余类表示为[0]、[1]、[2]（、。。。、[n-1]

    [r] = {a: a是一个整数，a=r（mod n）}：所有与r在模数n下同余的数

  -

  • (a+b) = (a+c)(mod n) a在Zn中有加法逆元，则b=c(mod n)，在Zn中，所有元素都有加法逆元

  • ab = ac (mod n) a在Zn中有模乘法逆元，那么有 b=c（mod n），在Zn中，如果元素a与n互素，那么a有模乘法逆元

扩展欧几里得算法

• ax+by = d = gcd (a,b)

• xi=xi-2 - xi-1*qi
  yi = yi-2 - yi-1*qi
  qi = ri-2 /ri-1 取整
  初始条件r-1 = a、r0 = b 、x-1=1，y-1 = 0、x0 =0 、y0=1
  

• 

• x与y的求法：就是在欧几里得算法的每一步，都附带算上xi=xi-2 - xi-1qi和yi = yi-2 - yi-1qi

素数：整数p>1是素数，当且仅当p只有因子+、-1和±p

• 整数因式分解：任意整数都可以用素数进行唯一的因式分解：a = p1^a1*p2a2*……*pt^at,其中p都是素数

费马定理：若p是素数，a是正整数且不能被p整除，则a^p-1 = 1(mod p)或者a^p = a(mod p)

欧拉定理：数论四大定理之欧拉定理 - 简书 (jianshu.com)

• 欧拉函数：小于n且与n互素的正整数的个数

  f(1) = 1,f§ = p-1//p为素数

• 欧拉函数计算方法：a = p1^a1*p2a2*……*pt^at，则f(a) = a*Tt(1-1/pi) ///*如果有两个素数p和q ，n=pq，则f（n）= f（p）f（q）

• 欧拉定理：a^f(n) = 1 mod n,对任意互素的整数a和n

离散对数

• 模n整数幂：a^m = 1 mod n,满足该式的最小正幂为，a mod n 的阶、a所属模n的指数、a在模n运算的周期

  • 数a模n幂运算中，其阶最高为f(n).
  • 如果阶为f（n），则称a为模n幂运算的本原根，素数都有本原根，部分非素数有本原根

• 模算数对数

  b = a^i(mod p)
  i = dlogb\a,p
  

• 重要结论

  • 计算y = a^x mod p 很容易

  • 计算x = dlogy/a,p很难

  • 

• 重要结论

  • 计算y = a^x mod p 很容易

  • 计算x = dlogy/a,p很难