5.3 只存在噪声的复原-空间滤波

本节所用图片素材共享于原始图片，提取码 523o

数字图形处理过程中引入噪声可分为两类，一类是由于经过系统引起的噪声，一类是由于干扰引起的加性噪声，当仅考虑加性噪声时，含有噪声的图像可表示:
$$g(x,y)=f(x,y)+\eta (x,y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
和DFT形式：
$$G(u,v)=F(u,v)+N(u,v)\text{\hspace{1em}(2)}$$
对于这种形式的噪声，主要考虑空间域滤波。

均值滤波器

为描述方便，后文中用$S_{xy}$表示$f(x,y)$周围$m\times n$邻域内的点的坐标的集合，那么，那么$(s,t)$就表示该邻域内某一点的坐标，$g(s,t)$就表示该邻域内某一点的灰度值

• 算数均值滤波器

  算数均值滤波是通过计算点$f(x,y)$周围大小为$m\times n$的邻域中像素灰度的算数平均值来完成的，即：
  $$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn}\sum _{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)\text{\hspace{1em}(3)}$$
  显然，该滤波器可以通过如下方式实现:

  filter = ones(m, n) / (m*n);
  g = imfilter(f, filter, 'replicate');
  

  不过，为了减少双精度浮点数计算的舍入误差，一般将将系数$\frac{1}{mn}$放在最后计算：

  filter = ones(m, n);
  g = imfilter(f, filter, 'replicate') / (m * n);
  

  当然，图像处理工具箱中也提供了算数均值滤波器的实现：

  filter = fspecial('average', [m, n]);
  g = imfilter(f, filter, 'replicate');
  

  实际中使用哪种都是可以的

• 几何均值滤波器

  几何均值滤波是通过计算点$f(x,y)$周围大小为$m\times n$的邻域中像素灰度的几何平均值来完成的，即：
  $$\hat{f}(x,y)={\left[\prod _{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)\right]}^{\frac{1}{mn}}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  几何均值滤波器与算数均值滤波器相比，丢失的图像细节更少。
  matlab中提供了计算几何均值的函数geomean()，故几何均值滤波可通过如下代码实现：

  g = colfilt(f, [m, n], 'sliding', @geomean);
  

如下图(a)是一块8比特X射线图，图(b)显示了被均值为0，方差为400的加性高斯噪声污染的结果，图(c)和图(d)显示了使用大小为3x3的算数均值滤波和几何均值滤波的结果，显然这两种滤波器都衰减了噪声，几何均值滤波与算数均值滤波相比，图像模糊程度更小(注意例如图(c)和图(d)顶部连接片)。
本节所用完整代码如下

f = imread('Fig0507(a)(ckt-board-orig).tif');
figure
subplot(1, 2, 1);
imshow(f);
title('(a)原始图像');

f_with_noise = imread('Fig0507(b)(ckt-board-gauss-var-400).tif');
subplot(1, 2, 2);
imshow(f_with_noise);
title('(b)被均值为0，方差为400的加行高斯噪声污染的图像');

g_mean = colfilt(f_with_noise, [3, 3], 'sliding', @mean) / (3 * 3);
figure
subplot(1, 2, 1);
imshow(g_mean, [ ]);
title('(c)算数平均值滤波');

% 注意, geomean使用了进行了取对数加快运算，因此为了防止丢失精度和
% log0的出现，要将原图转为double类型并加上eps(matlab所能表示的最小的数)
g_geomean = colfilt(double(f_with_noise) + eps, [3, 3], 'sliding', @geomean);
subplot(1, 2, 2);
imshow(g_geomean, [ ]);
title('(d)几何平均值滤波');

• 谐波均值滤波器
  谐波滤波器由如下式子给出：
  $$\hat{f}(x,y)=\frac{mn}{{\sum }_{(s,t)\in S_{xy}}\frac{1}{g(s,t)}}\text{\hspace{1em}(5)}$$
  谐波均值滤波器对于盐粒噪声(白点)效果较好，但不适用于胡椒噪声(暗点)，也善于处理像高斯噪声那样的其他噪声

• 逆谐波均值滤波器
  逆谐波均值滤波器由如下式子给出
  $$\hat{f}(x,y)=\frac{{\sum }_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t{)}^{Q+1}}{{\sum }_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t{)}^Q}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  其中Q为滤波器的阶数，这种滤波器适合消除椒盐噪声，当Q为正时，消除胡椒噪声；当Q为负时，消除盐粒噪声。当Q=0时，(6)式简化为一个算数均值滤波器，当Q = -1时，(6)简化为一个谐波均值滤波器。
  根据逆谐波均值滤波器的定义，逆谐波均值滤波器可通过如下代码实现：
  这里分母在计算完成后要加上eps防止分母为0的情形出现。

  g = imfilter(f .^ (Q + 1), ones(m,n), 'replicate') ./ (imfilter(f .^ (Q), ones(m,n), 'replicate') + eps);
  

  下图(a)和(c )显示了一幅被概率为0.1的胡椒噪声(a)和盐粒噪声(c )污染的图像，图(b)是对图(a)使用Q=1.5的逆谐波均值滤波器滤波的结果，图(d)是对图(c )使用Q = -1.5的逆谐波均值滤波器滤波的结果，可以看到在正确选择Q后，胡椒噪声与盐粒噪声均被消除。另外，逆谐波均值滤波器不能同时处理椒盐噪声，换言之，如果使用正Q处理盐粒噪声或负Q处理胡椒噪声，则会产生不可预估的后果，如图(e)(f)是使用Q=-1.5处理图(a)和Q=1.5处理图(c )的结果，显然，这两个都没有完成去噪的任务。
  本节所用的完整代码如下：

  f = imread('Fig0507(a)(ckt-board-orig).tif');
  [M, N] = size(f);
  
  n_pepper = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0.1, 0);
  c = find(n_pepper == 0);
  f_pepper = f;
  f_pepper(c) = 0;
  figure
  subplot(1, 2, 1)
  imshow(f_pepper);
  title('(a)被概率为0.1的胡椒噪声污染的图像')
  
  g = contra_harmonic_mean(f_pepper, 3, 3, 1.5);
  subplot(1, 2, 2)
  imshow(g, [ ]);
  title('(b)Q=1.5的逆谐波均值滤波结果');
  
  n_salt = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0, 0.1);
  c = find(n_salt == 1);
  f_salt = f;
  f_salt(c) = 255;
  figure
  subplot(1, 2, 1)
  imshow(f_salt);
  title('(c)被概率为0.1的盐粒噪声污染的图像')
  
  g = contra_harmonic_mean(f_salt, 3, 3, -1.5);
  subplot(1, 2, 2)
  imshow(g, [ ]);
  title('(d)Q=-1.5的逆谐波均值滤波结果');
  
  g = contra_harmonic_mean(f_pepper, 3, 3, -1.5);
  figure
  subplot(1, 2, 1)
  imshow(g, [ ]);
  title('(e)胡椒噪声经Q=1.5的逆谐波均值滤波器滤波结果');
  
  g = contra_harmonic_mean(f_salt, 3, 3, 1.5);
  subplot(1, 2, 2)
  imshow(g, [ ]);
  title('(f)盐粒噪声经Q=-1.5的逆谐波均值滤波器滤波结果');
  
  function g = contra_harmonic_mean(f,m,n, Q)
  	f = double(f);
  	g = imfilter(f.^(Q+1), ones(m,n), 'replicate') ./ imfilter(f .^ (Q), ones(m,n), 'replicate') + eps;
  end
  

  综上，算数均值滤波器和几何均值滤波器适合处理高斯或均匀噪声，逆谐波均值滤波器适合处理脉冲噪声。

统计排序滤波器

• 中值滤波器
  中值滤波器由下式定义：
  $$\hat{f}(x,y)=\underset{(s,t)\in S_{xy}}{\mathrm{median}}\{g(s,t)\}\text{\hspace{1em}(7)}$$
  借助matlab提供的median函数，很容易得到中值滤波代码：

  g = colfilt(f, [m, n], 'sliding', @median)
  

  另外，matlab也提供了medfilt2函数，也可以用来进行中值滤波。
  下图(a)显示了一幅被$P_a=P_b=0.1$的椒盐噪声污染的图像，图(b)(c)(d)是对图(a)分别使用3x3的中值滤波器进行一次、两次、三次中值滤波的结果，其结果对图(a)的改进十分明显。 本节所用代码如下：

  f = imread('Fig0507(a)(ckt-board-orig).tif');
  [M, N] = size(f);
  
  n_s_p = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0.1, 0.1);
  f_s_p = f;
  c = find(n_s_p == 0);
  f_s_p(c) = 0;
  c = find(n_s_p == 1);
  f_s_p(c) = 255;
  
  figure
  subplot(2, 2, 1)
  imshow(f_s_p, [ ]);
  title('(a)Pa=Pb=0.1的椒盐噪声污染图像')
  
  g1 = colfilt(f_s_p, [3, 3], 'sliding', @median);
  subplot(2, 2, 2)
  imshow(g1, [ ])
  title('(b)图(a)一次中值滤波结果')
  
  g2 = colfilt(g1, [3, 3], 'sliding', @median);
  subplot(2, 2, 3)
  imshow(g2, [ ])
  title('(c)图(a)两次中值滤波结果')
  
  g3 = colfilt(g2, [3, 3], 'sliding', @median);
  subplot(2, 2, 4)
  imshow(g3, [ ])
  title('(d)图(a)三次中值滤波结果')
  

• 最大值和最小值滤波器
  最大值滤波器由下式定义：
  $$\hat{f}(x,y)=\underset{(s,t)\in S_{xy}}{\max }\{g(s,t)\}\text{\hspace{1em}(8)}$$
  最大值滤波器对于发现图像中亮点非常有用，由于胡椒噪声灰度值非常低，所以最大值滤波器适合去除胡椒噪声
  最小是滤波器由下式定义：
  $$\hat{f}(x,y)=\underset{(s,t)\in S_{xy}}{\max }\{g(s,t)\}\text{\hspace{1em}(9)}$$
  最小值滤波器对于发现图像中暗点非常有用，由于盐粒噪声灰度值非常高，所以最小值滤波器适合去除盐粒噪声
  和上面一样，最大值和最小值滤波器可由以下代码得到：

  g_max = colfilt(f, [m, n], 'sliding', @max);
  g_min = colfilt(f, [m, n], 'sliding', @min);
  

  同逆谐波均值滤波器一样，最大值滤波器和最小值滤波器都不能同时处理椒盐噪声，下图(a)显示了使用最大值滤波器对$P_a=0.1$的胡椒噪声滤波的结果，图(b)显示了使用最小值滤波器对$P_b=0.1$的盐粒噪声滤波的结果。
  另外注意，最大值滤波器扩展了图像的白色边缘，使得图像整体亮度变大，而最小值滤波器扩展了图像的黑色边缘，使的图像的整体亮度变小。

本节所用代码如下：

f = imread('Fig0507(a)(ckt-board-orig).tif');
[M, N] = size(f);

n_pepper = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0.1, 0);
f_pepper = f;
c = find(n_pepper == 0);
f_pepper(c) = 0;

g_max = colfilt(f_pepper, [3, 3], 'sliding', @max);
figure
subplot(1, 2, 1)
imshow(g_max, [ ])
title('(a)3x3最大值滤波器滤波结果')

n_salt = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0, 0.1);
c = find(n_salt == 1);
f_salt = f;
f_salt(c) = 255;

g_min = colfilt(f_salt, [3, 3], 'sliding', @min);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_min, [ ])
title('(a)3x3最小值滤波器滤波结果')

• 中点滤波器
  中点滤波器由下式定义：
  $$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{2}\left[\underset{(s,t)\in S_{xy}}{\max }\{g(s,t)\}+\underset{(s,t)\in S_{xy}}{\min }\{g(s,t)\}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
  中点滤波器计算$\hat{f}(x,y)$的$m\times n$邻域中的最大值和最小值的中点，适用于处理随机分布的噪声如高斯噪声或均匀噪声

• 修正的阿尔法均值滤波器
  去掉邻域$S_{xy}$内灰度最低的$d/2$个像素和灰度最大的$d/2$个像素，由剩余的$mn-d$个元素的平均值形成的滤波器称之为修正的阿尔法均值滤波器，定义式如下：
  $$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn-d}\sum _{(s,t)\in S_{xy}}{g}_r(s,t)\text{\hspace{1em}(11)}$$
  其中$g_r(s,t)$表示剩余的$mn-d$个元素的灰度，$d$的取值范围为$[0,mn-1]$, 当$d=0$时，(11)式退化为算数均值滤波器，当$d=mn-1$时，(11)式退化为中值滤波器。修正的阿尔法均值滤波器在包含多种噪声的情况下很有用，如混合有高斯噪声和椒盐噪声的情况

  下图(a)显示了一幅被均值为0，方差为800的加性均匀噪声污染的图像，图(b)显示了这幅图像进一步被$P_a=P_b=0.1$的椒盐噪声污染的图像，图(c)(d)分别是使用5x5的算数均值滤波器和几何均值滤波器滤波的结果，显然，这两个都没有起到良好地滤波结果。图(d)是使用了5x5的中值滤波器滤波的结果，图(f)是使用了5x5，d=6的修正阿尔法均值滤波的结果，这两个滤波的结果都好的多，但修正阿尔法均值滤波时的处理后的图像更平滑一些

本节所用代码如下：

clear
clc
close all

f_gauss = imread('Fig0512(a)(ckt-uniform-var-800).tif');
[M, N] = size(f_gauss);

figure
subplot(1, 2, 1);
imshow(f_gauss, [ ])
title('(a)被加性均匀噪声污染的图像')

n_sp = imnoise2('salt & pepper', M, N, 0.1, 0.1);
f_sp = f_gauss;
c = find(n_sp == 0);
f_sp(c) = 0;
c = find(n_sp == 1);
f_sp(c) = 255;
subplot(1, 2, 2);
imshow(f_sp, [ ])
title('(b)再次被Pa=Pb=0.1的加性椒盐噪声污染的图像')

g_mean = colfilt(f_sp, [5, 5], 'sliding', @mean);
figure
subplot(1, 2, 1)
imshow(g_mean, [ ]);
title('(c)使用5x5的算数均值滤波')

g_geomean = colfilt(im2double(f_sp) + eps, [5, 5], 'sliding', @geomean);
% g_geomean = spfilt(f_sp, 'gmean', 5, 5);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_geomean, [ ]);
title('(d)使用5x5的几何均值滤波')

g_median = colfilt(f_sp, [5, 5], 'sliding', @median);
figure
subplot(1, 2, 1)
imshow(g_median, [ ]);
title('(e)使用5x5的中值滤波')

% g_alpha_mean = trimed_alpha_mean(f_sp, 5, 5, 6);
% subplot(1, 2, 2)
% imshow(g_median, [ ]);
% title('(f)使用5x5,d=5的修正阿尔法均值滤波')

g_alpha_mena = spfilt(f_sp, 'atrimmed', 5, 5, 6);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_alpha_mena, [ ]);
title('(f)使用5x5,d=6的修正阿尔法均值滤波')

% function g = trimed_alpha_mean(f, m, n, d)
% 	[M, N] = size(f);
% 	f = padarray(f, [m, n], 0, 'both');
% 	g = ones(M, N);
% 	for i = m+1:M+m
% 		for j = n+1:N+n
% 			left = i - fix(m / 2);
% 			up = j - fix(n / 2);
% 			f_adjacent = f(left: left+m-1, up : up+n-1);
% 			sorted = sort(f_adjacent(:));
% 			left = fix(d / 2);
% 			g(i-m, j-n) = mean(sorted(left : m*n-left+1));
% 		end
% 	end
% 	g = g / (m * n -d);
% end

最后，数字图像处理Matlab版中也给出了一个spfilt函数，用来计算上面所讨论的几种均值滤波器，在此也将其代码贴出来，不过基本的原理和上面是一样的，也就不再赘述。

function f = spfilt(g, type, m, n, parameter)
%SPFILT Performs linear and nonlinear spatial filtering.
%   F = SPFILT(G, TYPE, M, N, PARAMETER) performs spatial filtering
%   of image G using a TYPE filter of size M-by-N. Valid calls to
%   SPFILT are as follows: 
%
%     F = SPFILT(G, 'amean', M, N)       Arithmetic mean filtering.
%     F = SPFILT(G, 'gmean', M, N)       Geometric mean filtering.
%     F = SPFILT(G, 'hmean', M, N)       Harmonic mean filtering.
%     F = SPFILT(G, 'chmean', M, N, Q)   Contraharmonic mean
%                                        filtering of order Q. The
%                                        default is Q = 1.5.
%     F = SPFILT(G, 'median', M, N)      Median filtering.
%     F = SPFILT(G, 'max', M, N)         Max filtering.
%     F = SPFILT(G, 'min', M, N)         Min filtering.
%     F = SPFILT(G, 'midpoint', M, N)    Midpoint filtering.
%     F = SPFILT(G, 'atrimmed', M, N, D) Alpha-trimmed mean filtering.
%                                        Parameter D must be a
%                                        nonnegative even integer;
%                                        its default value is D = 2.
%
%   The default values when only G and TYPE are input are M = N = 3,
%   Q = 1.5, and D = 2.
% 
%   Copyright 2002-2004 R. C. Gonzalez, R. E. Woods, & S. L. Eddins
%   Digital Image Processing Using MATLAB, Prentice-Hall, 2004
%   $Revision: 1.6 $  $Date: 2003/10/27 20:07:00 $

% Process inputs.
if nargin == 2
   m = 3; n = 3; Q = 1.5; d = 2;
elseif nargin == 5
   Q = parameter; d = parameter;
elseif nargin == 4
   Q = 1.5; d = 2;
else 
   error('Wrong number of inputs.');
end

% Do the filtering.
switch type
case 'amean'
   w = fspecial('average', [m n]);
   f = imfilter(g, w, 'replicate');
case 'gmean'
   f = gmean(g, m, n);
case 'hmean'
   f = harmean(g, m, n);
case 'chmean'
   f = charmean(g, m, n, Q);
case 'median'
   f = medfilt2(g, [m n], 'symmetric');
case 'max'
   f = ordfilt2(g, m*n, ones(m, n), 'symmetric');
case 'min'
   f = ordfilt2(g, 1, ones(m, n), 'symmetric');
case 'midpoint'
   f1 = ordfilt2(g, 1, ones(m, n), 'symmetric');
   f2 = ordfilt2(g, m*n, ones(m, n), 'symmetric');
   f = imlincomb(0.5, f1, 0.5, f2);
case 'atrimmed'
   if (d <= 0) | (d/2 ~= round(d/2))
      error('d must be a positive, even integer.')
   end
   f = alphatrim(g, m, n, d);
otherwise
   error('Unknown filter type.')
end

%-------------------------------------------------------------------%

function f = gmean(g, m, n)
%  Implements a geometric mean filter.
inclass = class(g);
g = im2double(g);

% Disable log(0) warning.
warning off;
f = exp(imfilter(log(g), ones(m, n), 'replicate')).^(1 / m / n);
warning on;
f = changeclass(inclass, f);

%-------------------------------------------------------------------%

function f = harmean(g, m, n)
%  Implements a harmonic mean filter.
inclass = class(g);
g = im2double(g);
f = m * n ./ imfilter(1./(g + eps),ones(m, n), 'replicate');
f = changeclass(inclass, f);

%-------------------------------------------------------------------%

function f = charmean(g, m, n, q)
%  Implements a contraharmonic mean filter.
inclass = class(g);
g = im2double(g);
f = imfilter(g.^(q+1), ones(m, n), 'replicate');
f = f ./ (imfilter(g.^q, ones(m, n), 'replicate') + eps);
f = changeclass(inclass, f);

%-------------------------------------------------------------------%

function f = alphatrim(g, m, n, d)
%  Implements an alpha-trimmed mean filter.
inclass = class(g);
g = im2double(g);
f = imfilter(g, ones(m, n), 'symmetric');

for k = 1:d/2
   f = imsubtract(f, ordfilt2(g, k, ones(m, n), 'symmetric'));
end

for k = (m*n - (d/2) + 1):m*n
   f = imsubtract(f, ordfilt2(g, k, ones(m, n), 'symmetric'));
end
f = f / (m*n - d);
f = changeclass(inclass, f);

自适应滤波器

自适应滤波器是以图像中的某一点对其他点的特征变化为基础的，因此自适应滤波器的性能要优于前面所讨论的所有滤波器，代价是计算复杂度提高了。

• 自适应局部降噪滤波器

  自适应局部降噪滤波器在任意一点$(x,y)$上的响应基于以下4个量:(a) $g(x,y)$, 带噪图像在点$(x,y)$处的值；(b) ${\sigma }_{\eta }^2$，噪声的方差；(c) $m_L$, $S_{xy}$中像素的局部均值。(d)${\sigma }_L^2$, $S_{xy}$中像素的局部方差。我们所希望的滤波器响应如下：

  1. 如果${\sigma }_{\eta }^2$为零，则简单的返回$g(x,y)$,因为这是零噪声的情形
  2. 如果 ${\sigma }_L^2$与${\sigma }_{\eta }^2$高度相关，则返回$g(x,y)$的一个近似值，这是由于高的局部方差与边缘相联系，因此应该保护这些区域
  3. 如果两个方差相等，则返回$S_{xy}$中像素的算数平均值，这种情况发生在局部区域与整个图像有相同特性的情况

  基于以上讨论，自适应局部降噪滤波器表达式如下：
  $$\hat{f}(x,y)=g(x,y)-\frac{{\sigma }_{\eta }^2}{{\sigma }_L^2}\left[g(x,y)-m_L\right]\text{\hspace{1em}(12)}$$
  由以上讨论易得自适应局部降噪滤波器的代码如下：

  function g = adaptiv_local_noise_reduction_filter(f, m, n, sig_eta)
  	[M, N] = size(f);
  	inclass = class(f);
  	% 将图像归一化到[0, 1]
  	f_pad = padarray(im2double(f), [m, n], 'replicate', 'both');
  	% 归一化方差
  	sig_eta = sig_eta / (255^2);
  	g = zeros(M, N);
  	% 填充原始图像
  	for i = m+1:M+m
  		for j = n+1:N+n
  			left_bound = fix(m / 2);
  			up_bound = fix(n / 2);
  			% 获得以f_pad(i, j)为中心的m*n邻域
  			s_xy = f_pad(i-left_bound:i-left_bound+m-1, j-up_bound:j-up_bound+n-1);
  			% 局部均值
  			ml = mean(s_xy(:));
  			% 局部方差
  			sig_L = var(s_xy(:));
  			if sig_eta / sig_L >= 1
  				g(i-m, j-n) = ml;
  			else
  				g(i-m, j-n) = f_pad(i, j) - sig_eta / sig_L * (f_pad(i, j) - ml);
  			end
  		end
  	end
  	g = changeclass(inclass, g);
  end
  

  通常情况下，噪声的方差${\sigma }_{\eta }^2$是不可知的，但我们可以通过一个恒定灰度的区域对噪声的方差进行估计。
  如下图(a)显示了一幅均值为零，方差为1000的加性高斯噪声污染的图像，图(b)、(c)是分别对其进行7x7算数均值滤波和几何均值滤波的结果，可以看到，噪声被平滑，但图像也变得非常模糊。图(d)是使用自适应降噪的结果，其降噪效果与(b)(c)相当，但图像更清晰一点(注意图像左下方的8根引脚)

本节所用完整代码如下：

clear
clc
close all

f_gauss = imread('Fig0513(a)(ckt_gaussian_var_1000_mean_0).tif');
[M, N] = size(f_gauss);

figure
subplot(1, 2, 1);
imshow(f_gauss, [ ])
title('(a)被方差为1000的加性高斯噪声污染的图像')


g_mean = spfilt(f_gauss, 'amean', 7, 7);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_mean, [ ]);
title('(b)使用7x7的算数均值滤波')

g_geomean = spfilt(f_gauss, 'gmean', 7, 7);
figure
subplot(1, 2, 1)
imshow(g_geomean, [ ]);
title('(c)使用7x7的几何均值滤波')

g_aptive = adaptiv_local_noise_reduction_filter(f_gauss, 7, 7, 1000);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_aptive, [ ]);
title('(d)使用7x7的自适应局部降噪滤波')


function g = adaptiv_local_noise_reduction_filter(f, m, n, sig_eta)
	[M, N] = size(f);
	inclass = class(f);
	% 将图像归一化到[0, 1]
	f_pad = padarray(im2double(f), [m, n], 'replicate', 'both');
	% 归一化方差
	sig_eta = sig_eta / (255^2);
	g = zeros(M, N);
	% 填充原始图像
	for i = m+1:M+m
		for j = n+1:N+n
			left_bound = fix(m / 2);
			up_bound = fix(n / 2);
			% 获得以f_pad(i, j)为中心的m*n邻域
			s_xy = f_pad(i-left_bound:i-left_bound+m-1, j-up_bound:j-up_bound+n-1);
			% 局部均值
			ml = mean(s_xy(:));
			% 局部方差
			sig_L = var(s_xy(:));
			if sig_eta / sig_L >= 1
				g(i-m, j-n) = ml;
			else
				g(i-m, j-n) = f_pad(i, j) - sig_eta / sig_L * (f_pad(i, j) - ml);
			end
		end
	end
	g = changeclass(inclass, g);
end

• 自适应中值滤波器
  自适应终止滤波以中值滤波为基础。只要脉冲噪声的空间密度不大，中值滤波性能就会很好($P_a$和$P_b$小于0.2)，而自适应终止滤波可以处理更高密度的脉冲噪声，其原理是根据某些条件动态调整$S_{xy}$的大小。
  自适应中值滤波过程如下：
  步骤A：
   $A_1=z_{med}-z_{min}$
   $A_2=z_{med}-z_{max}$
   如果$A_1>0$且$A_2<0$，则转到步骤B
   否则增大窗口尺寸
   如果串口尺寸$\le S_{max}$, 则重复步骤A
   否则输出$z_{med}$
  步骤B：
   $B_1=z_{xy}-z_{min}$
   $B_2=z_{xy}-z_{max}$
   如果$B_1>0$ 且 $B_2<0$, 则输出$z_{xy}$
   否则输出$z_{med}$
  要理解该算法，首先要清楚，$z_{max}$和$z_{min}$在算法统计中被认为是类脉冲噪声成分。
  步骤A的目的在于确定$z_{med}$是否是一个脉冲，如果$z_{min}<z_{med}<z_{max}$，则它不是一个脉冲噪声，进而要进行步骤B，以确定$z_{xy}$是否是一个脉冲噪声，道理同之前一样，如果$z_{xy}$不是脉冲噪声，那么就输出$z_{xy}$，这样就保留了图像中的中间灰度级，减少了失真；反之，则$z_{xy}=z_{min}$或$z_{xy}=z_{max}$,那就相当于执行一次中值滤波，输出$z_{med}$。如果在步骤A中，$z_{med}$确实是一个脉冲，就尝试增大$S_{xy}$以找到一个非脉冲的中值，直到最大。
  数字图像处理matlab版中提供了自适应中值滤波的函数，由于自己写的代码太烂了，自己都看不下去，所以就用原生的代码演示吧：

function f = adpmedian(g, Smax)
%ADPMEDIAN Perform adaptive median filtering.
%   F = ADPMEDIAN(G, SMAX) performs adaptive median filtering of
%   image G.  The median filter starts at size 3-by-3 and iterates up
%   to size SMAX-by-SMAX. SMAX must be an odd integer greater than 1.
%
%   Copyright 2002-2004 R. C. Gonzalez, R. E. Woods, & S. L. Eddins
%   Digital Image Processing Using MATLAB, Prentice-Hall, 2004
%   $Revision: 1.5 $  $Date: 2003/11/21 14:19:05 $

% SMAX must be an odd, positive integer greater than 1.
if (Smax <= 1) | (Smax/2 == round(Smax/2)) | (Smax ~= round(Smax))
   error('SMAX must be an odd integer > 1.')
end
[M, N] = size(g);

% Initial setup.
f = g;
f(:) = 0;
alreadyProcessed = false(size(g));

% Begin filtering.
for k = 3:2:Smax
   zmin = ordfilt2(g, 1, ones(k, k), 'symmetric');
   zmax = ordfilt2(g, k * k, ones(k, k), 'symmetric');
   zmed = medfilt2(g, [k k], 'symmetric');
   
   processUsingLevelB = (zmed > zmin) & (zmax > zmed) & ...
       ~alreadyProcessed; 
   zB = (g > zmin) & (zmax > g);
   
   outputZxy  = processUsingLevelB & zB;
   outputZmed = processUsingLevelB & ~zB;
   
   f(outputZxy) = g(outputZxy);
   f(outputZmed) = zmed(outputZmed);
   
   alreadyProcessed = alreadyProcessed | processUsingLevelB;
   if all(alreadyProcessed(:))
      break;
   end
end

% Output zmed for any remaining unprocessed pixels. Note that this
% zmed was computed using a window of size Smax-by-Smax, which is
% the final value of k in the loop.
f(~alreadyProcessed) = zmed(~alreadyProcessed);

理解这个代码的关键在于理解标志矩阵alreadyProcessed和标志位processUsingLevelB，只要理解了alreadyProcessed 是用来表示是否需要扩大邻域$S_{xy}$的，processUsingLevelB是用来表示是否需要进行步骤B的，这段代码就非常好理解了。

以下图(a)显示了一幅被$P_a=P_b=0.25$的椒盐噪声污染的图像，此时噪声水平非常高，以至于细节几乎不可见。图(b)是使用7x7的中值滤波器滤波的结果，此时虽然噪声被平滑，但图像细节也出现了损失，如图片顶部连接片的断裂。
图(c)是使用自适应中值滤波的结果，可以看到，除了平滑噪声外，该滤波器对图像的细节保留也非常好。

本节所用完整代码如下：

f_gauss = imread('Fig0514(a)(ckt_saltpep_prob_pt25).tif');
[M, N] = size(f_gauss);

figure
imshow(f_gauss, [ ])
title('(a)被Pa=Pb=0.25的椒盐噪声污染的图像')


g_median = spfilt(f_gauss, 'median', 7, 7);
figure
subplot(1, 2, 1)
imshow(g_median, [ ]);
title('(b)使用7x7的中值滤波器滤波结果')

g_adaptive_median = adpmedian(f_gauss, 7);
subplot(1, 2, 2)
imshow(g_adaptive_median, [ ]);
title('(c)使用7x7的自适应中值滤波器滤波结果')