1.1数列的极限

1.1数列的极限

一.数列极限的定义

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的应用。

简单来说就是当这个多边形的边数足够的大，就可以将这个正多边形的面积近似的相当于圆的面积，当n无限的大，正多边形无限接近圆

先说明数列的概念.如果按照某一法则,对每个n$\in$N₊.,对应着一个确定的实数x_n,这些实数 ,按照下标n从小到大排列得到的一个序列

数列中的每一个数叫做数列的项,第n项x_n叫做数列的一般项(或通项)

定义﹐设{x_n},为一数列,如果存在常数α,对于任意给定的正数$\epsilon$（不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式

|x_n-a|<$\epsilon$

都成立，a是数列{x_n}的极限，或数列收敛于a，即为

$\underset{x\to \infty }{\lim }x$_n=a

如果不存在则数列没有极限

当n>N足够大的时候比n大的所有数列全部在a的$\epsilon$邻域里

$\underset{x\to \infty }{\lim }x$_n=a$\iff$$\epsilon$>0,$\exists$N>0,当n>N时，有|x_n-a|<$\epsilon$

$\epsilon$任意取但是建议取小一点

二.收敛数列的性质

1.唯一性

数列有极限则极限必定唯一

证明方法用反证法，假设该极限有两个

2.有界性

如果数列有极限则必定有界，但是有界未必有极限

3.保号性

如果$\underset{x\to \infty }{\lim }x$_n=a，且a>0(a<0)，那么存在正整数N，当n>N时，都有x_n>0(x_n<0)

如果数列x_n从某项起有x_n$\ge$ 0(x_n$\le$ 0)且$\underset{x\to \infty }{\lim }x$_n=a,那么a$\ge$ 0（x_n $\le$ 0）

从数列中任意取无限多项并保持数列的相对位置不变，得到的数列称为原数列的子数列

如果数列极限为a，子数列极限也为a

限多项并保持数列的相对位置不变，得到的数列称为原数列的子数列

如果数列极限为a，子数列极限也为a