数学分析 极限(第2,3章)

一.数列极限
1.概念
(1)定义:


(2)无穷小数列:

定理2.1:数列{a_n}收敛于a的充要条件是{a_n-a}为无穷小数列

(3)无穷大数列:

2.收敛数列的性质
(1)唯一性(定理2.2):

若{a_n}收敛,则它只有1个极限

(2)有界性(定理2.3):

若{a_n}收敛,则{a_n}为有界数列,即∃M>0,对∀n∈Z₊,都有|a_n|≤M

(3)保号性(定理2.4):

若$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$=a>0,则对∀a’∈(0,a)(或a’∈(a,0)),∃N>0,使得当n>N,有a_n>a’(或a_n

推论:设$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$=a,$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$=b,aN,有a_nn

(4)保不等式性(定理2.5):

设{a_n}和{b_n}均为收敛数列,若∃N₀>0,使得当n>N₀时,有a_n≤b_n,则$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$≤$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$

(5)迫敛性(定理2.6):

设收敛数列{a_n},{n_n}都以a为极限,{c_n}满足:∃N₀>0,当n>N₀时,有a_n≤c_n≤b_n,则{c_n}收敛,且$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$=a

(6)四则运算法则(定理2.7):

若{a_n}与{b_n}为收敛数列,则{a_n±b_n},{a_n·b_n}也都是收敛数列,且有$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$±$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$,$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$·$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$
特别地,当b_n为常数c,$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm c)$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$±c,$\underset{n\to \infty }{\lim }c{a}_n$=c$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$
若再假设b_n≠0且$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$≠0,则{$\frac{a_n}{b_n}$}也是收敛数列,且有$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n}$

3.子列:

4.单调数列:

5.数列极限存在的条件
(1)数列收敛的充要条件(定理2.8):

数列{a_n}收敛的充要条件是:{a_n}的∀子列都收敛

(2)单调有界收敛定理(定理2.9):

在实数系中,有界的单调数列必有极限

(3)致密性定理(定理2.10):

引子:任何数列都∃单调子列

致密性定理:任何有界数列必定有收敛的子列

(4)柯西收敛准则(Cauchy’s Convergence Test;定理2.11):

数列{a_n}收敛的充要条件是:对∀$ϵ$>0,∃N∈Z₊,使得当n,m>N时,有|a_n-a_m|<$ϵ$
这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题

二.函数极限
1.概念
(1)函数的极限:

①x趋于$\infty$时的极限:


②x趋于x₀时的极限:

(2)函数的单侧极限:

某些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同(如分段函数),或函数在某些点处仅在某1侧有定义(如在定义区间断点处),这时函数在这些点处的极限只能单侧地给出定义

(3)函数的单侧极限与极限的关系:

定理3.1:$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=A⇔$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$=A
常用于说明某些极限不存在,如$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }sgnx$≠$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }sgnx$,故$\underset{x\to 0}{\lim }sgnx$不存在

(4)非正常极限$\infty$:

2.函数极限的性质

• 以下性质适用于全部6类函数极限或单侧极限,证明以$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$为例,其余5类极限的性质的证明只需在此基础上略作修改

(1)唯一性(定理3.2):

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在,则此极限是唯一的

(2)局部有界性(定理3.3):

若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在,则f在x₀的某去心邻域U°(x₀)上有界

(3)局部保号性(定理3.4):

若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=A>0(或<0),则对∀00),使得对∀x∈U°(x₀),有f(x)>r>0(或f(x)<-r<0)

(4)保不等式性(定理3.5):

设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$均存在,且在U°(x₀;δ’)上有f(x)≤g(x),则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$≤$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$(记为(3)式)

(5)迫敛性(定理3.6):

夹逼定理(Squeeze Theorem/Sandwich Theorem):设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$=A,且在U°(x₀;δ’)上有f(x)≤h(x)≤g(x),则$\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)$=A

(6)四则运算法则(定理3.7):

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$均存在,则$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]$与$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]$也存在,且 ①$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]$=$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$±$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ ②$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]$=$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$·$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$
又若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$≠0,则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$存在,且有 ③$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$=$\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}$

3,函数极限存在的条件
(1)归结原则(定理3.8):

• 海涅定理对全部6种类型的极限均成立,下面以x→x₀的形式为例

海涅定理(Heine Theorem):设f在U°(x₀;δ’)上有定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在的充要条件是:对∀含于U°(x₀;δ’)且以x₀为极限的数列{x_n},$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)$都存在且相等

(2)加强版归结原则(定理3.9

• 对4种单侧极限,相应的归结原则可表述为更强的形式,下面以x→$x_0^{+}$的形式为例

设函数f在某去心右邻域U°₊(x₀)有定义,$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$=A的充要条件是:对∀以x₀为极限的递减数列$x_n⊊U{°}_{+}(x0)$,有$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)$=A

(3)函数的单调有界收敛定理(定理3.10):

• 适用于全部4类单侧极限,下面以x→$x_0^{+}$的形式为例

设f为定义在U°₊(x₀)上的单调有界函数,则$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$存在

(4)柯西准则(Cauchy Criterion,定理3.11):

设函数f在U°(x₀;δ’)上有定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在的充要条件是:对∀$ϵ$>0,∃0<δ<δ’,使对∀x’,x’‘∈U°(x₀;δ),有|f(x’)-f(x’’)|<$ϵ$

相应地,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在的充要条件为:∃${ϵ}_0$>0,使对∀δ>0,总有x’,x’‘∈U°(x₀;δ),使得|f(x’)-f(x’’)|≥${ϵ}_0$

4.2个重要极限
(1)$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}$=1:

引子:$sinx$<$x$<$tanx$(0$\frac{\pi }{2}$)

证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}$=1:

(2)$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$:

数列极限$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to 0}{\lim }(1+n{)}^{\frac{1}{n}}=e$:

函数极限$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$:

三.无穷小量与无穷大量
1.无穷小量:
(1)定义:

无穷小量必定是有界量

(2)无穷小量的性质:

1.两个(系统类型的)无穷小量的和/差/积仍为无穷小量
\quad 1.1有限个(系统类型的)无穷小量的和/差/积仍为无穷小量
2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量

(3)函数极限的存在性与无穷小量的关系:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$⇔f(x)-A是x→x₀时的无穷小量

(4)无穷小量阶的比较:

(5)等价无穷小在求极限时的应用(定理3.12):

设函数f,g,h在U°(x₀)上有定义,且有f(x) ~ g(x)(x→x₀),则有 ①若$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\cdot h(x)]$=A,则$\underset{x\to x_0}{\lim }[g(x)\cdot h(x)]$=A ②若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h(x)}{f(x)}$=B,则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h(x)}{g(x)}$=B

代换时的注意事项:

3.无穷大量:
(1)定义:

(2)无穷大量同样有阶的概念,可以仿照无穷小量给出

(3)无穷小量与无穷大量:

4.渐近线: