割圆术求圆周率

零、介绍

题目要求：用集成化开发工具编写如下程序：采用割圆术计算圆周率，即对一个圆先割出一个正方形，再割出4个等腰三角形，再割出8个等腰三角形，后面依此类推，把这些割出的图形面积相加即为圆的面积，然后除以圆的半径的平方，最终得到圆周率。

这是博主第一段Java代码，写下此篇以纪念!

一、思路

分析：这里我们割的是圆的面积，分割成正n边形，然后求其面积之和。当n无穷大时，其面积之和等于圆的面积，也就是π*r*r。

本题的核心就是求多边形面积，多边形面积由以下两部分组成：

1.初始时中间的正方形面积S0；

2.每次割圆产生的n个三角形面积n*△S；

到这儿，大致的方法已经很明确了：定义S为总面积，初始值为正方形面积(S=S0)。每循环一次，S加上本次新增的n个三角形面积(S=S+n*△S)；

如下图所示：

 

那么下面就是如何求那些三角形的面积（如下图粉红色部分）

首先分析正四边形，正方形：

我们知道，三角形最基本的面积公式为 面积 = 底 * 高；

如上图，设半径为r，粉红色三角形高为a，剩下那段为b。显然有r=a+b；

那么图中粉红色三角形面积 △S = 红色线段 * a；

即：；       

由于r由我们给定，而a,b可以相互转化，所以△S其实由一个变量决定；

接着，分割一次，变成正八边形：粉红色为新的三角形

 

 

 

此时，本题最关键的地方来了，新三角形的边的两倍等于原来三角形的c边；

 

然后我们抓住这个关系，即可列出：

整理一下：

需要强调的是：这里的b是新三角形的b边，c是原来的三角形的c边；相当于是利用原来的c边对b边进行了更新。这样一来，b边表示的就是下一个三角形的b边了。再结合刚才△S的公式，就可以求出新的三角形的面积了。

算出来△S后，不要忘记乘以三角形个数n。

二、代码

直接上代码及注释

public class sy1_3 
{
    public static void main(String args[])
    {
    	int n;			//内接正n边型
    	double r=1.0;	//半径
    	double a,b,c;	//中间变量
		double s,Δs;   //总面积，面积增量
		double π;
		
		s=2*r/Math.sqrt(2)*2*r/Math.sqrt(2);	//赋初值，正方形面积
		b=r/Math.sqrt(2);						//初始化b边的值
		
		for(n=4;n<=10000;n=n*2)	//此时内接的是正n边型
		{
			a=r-b;							//计算a边值
			c=Math.sqrt(a*a-b*b+r*r);		//计算c边值
			Δs=n * a*Math.sqrt(r*r-b*b);   //求面积增量
			s=s+Δs;						   //面积累加
			b=Math.sqrt(r*r-c*c/4);			/****利用原来的c边更新b边****/
		}
		π=s/r/r;						   //计算π
		System.out.println("到内接正"+n+"边型时：");
		System.out.print("π="+π);
    }
}

三、其他

 在刚拿到题目的时候，我的思路是利用S=1/2*a*b*sinC计算三角形面积，但是这有个问题：这里用到了三角函数，而三角函数是基于圆的，其中的弧度制表示本身就是含有π的。而当时刘徽研究割圆术就是要求π呀，这样的话就有点拿着答案推过程的感觉了，所以像本题这样利用勾股定理来求三角形面积才是更符合常理，符合规律的方法！