简单倒立摆建模

相信我们很多人都会遇到过建模倒立摆的情况。倒立摆是控制系统领域中一个很基本但又很实用的问题。很多基本的控制逻辑和实现都可以通过倒立摆模型表示出来。但是，在网上搜索资料良莠不齐，而去参考论文又晦涩难懂。所以，我自己经过推导和验证，把一阶倒立摆的模型给写出来，供大家参考和学习。

杆重心的水平位置：

杆重心的竖直位置：

 

杆的水平受力：

杆的竖直受力分析：

杆的转动方程：

小车的受力分析：

联立后四个式子，得到动态方程:

在θ=0附近，可以线性化，sinθ=θ，cosθ=1

化简得

写成标准的系统形式

在不加控制u的情况下，特征多项式

由于中，是正数，所以λ有值为正数的根。因为A并不所有的特征值实部都小于0，所以系统是不稳定的。

 

同时，我们可以分析系统的可控性。如果系统是可控的，那么令，若rank(C0 )=4，那么系统就是可控的。

 

我们设A中 B中

那么，可以推导得到，若rank(C0 )=4，则C0可逆，行列式不为0

行列式

而且我们知道，所以等号不成立，所以行列式不为0，系统可控。

而至于具体的控制算法，那就很多种多样了，要用什么样的算法做控制，留作日后再继续探讨。