matlab嵌套使用integral函数,matlab实现数值积分 【二】（integral函数）
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x
3 u, ]! d, O+ }5 J1 s如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。2 h2 ?/ I$ q5 X/ k w
目录2 p4 `! x. q/ x3 ^0 Q8 G: w0 N
函数调用格式
$ [; @: {% J b) R, h6 p/ X应用举例. A7 z/ X4 b& M1 K0 V B
例1：求解数值解并检验其精度" z- t0 U1 R: v: C# w% B, ~
例2：分段函数积分
0 H0 s1 |. ?! N例3：与梯形法比较
: |+ g y) V5 ^4 `例4：大范围积分
! Z: g2 D# x8 X( _8 r6 g( i" j. J例5：广义积分的数值计算
9 g8 M/ ~6 o8 o* q6 V例6：含参函数数值积分! I' w, p3 q3 A) K0 ?2 X
6 @2 B4 W2 [0 Y4 E( l% |& @6 T* y
* r h) Y9 z/ t ^4 @
函数调用格式$ F4 ^+ Y6 L) Q( P3 _
/ h6 Z: D% I/ Z$ {
1.png (19.28 KB, 下载次数: 0)
2021-2-5 10:14 上传
8 H- u' q4 b0 G! p! `! [
$ `0 ~+ ^8 F* T( i9 p4 R
' y; y! [3 [. E+ a W应用举例
$ I6 l) n2 `8 ?( C" w例1：求解数值解并检验其精度
& Y; C+ M4 R, {9 [! q, `4 c/ p计算积分
* [0 r8 H" k# [* B; L
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- |: _( Q8 Q0 q8 K6 @ {3 S
5 A: l' I i3 W$ R# D- X' g
f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); % //匿名函数
y = integral(f,0,1.5) % //数值求解E8 W* y: }, {- `; Z# d+ k
) l/ `2 J- s! ^- `结果为 y=0.96610514647531
6 e p# o/ g: T# g; h, e1 M! I% i
求解解析解：
! m; r6 j1 ~5 h$ z8 Nsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
, x* y J$ N2 j7 S结果为：y0=0.966105146475315 a5 [, ^# n% d/ y& f9 }
& r/ M, P9 p0 {. E% ^7 D1 W, H
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。* Q6 x% G0 w" E" V7 ]+ D
! e) ]* O* G4 a a; Z/ E9 q1 G- [( J. C" @0 T! K X. z+ W% J
例2：分段函数积分* J/ J% l5 D3 l5 j, c
! y, U! O' q" B# a; W3 ^9 c
给定如下分段函数：* s$ |9 _' y0 i$ q h
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" \8 \- F6 ^- `/ f# M8 D4 D4 Y9 U计算积分值
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2021-2-5 10:14 上传
。- i! |: Z; l" @+ \, l0 n: b
! S+ ~- V" k. Z8 {1 ~# g
绘制 f ( x )填充图) l2 q0 {# Y0 A3 a4 b: J ^x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
3 M" }+ D8 r0 s: m4 \
8 Q3 V O& T7 |' o9 Y
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- o/ ]4 r3 v' {+ o& \6 ^! ]$ c& \( p, |" \7 _) S8 N" H* n% m
! i( l7 N( g" z求解与验证
& w+ W3 O. M3 T& s$ \: y* l0 S3 C% N. g
/ l" `: z- E+ J/ n% A; b3 jf = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
I1 = integral(f,0,4) %//数值解
I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
syms x
f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解
7 c. [& \5 a) w$ A! p4 M; n3 I* y( g" I3 F. ]. o' D$ ^
1 {) h8 }# ?( I' C% Z结果为：
( n0 [( O7 X x' q+ u9 T+ U/ [$ U1 O" t# w9 `/ {" v
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@$ c l/ |. Y4 @% [
& |0 G& {7 _+ H5 j* Y
) V) C0 F* v8 v$ [例3：与梯形法比较& J# ^8 g% w! j" ^* b7 p
" V' U. q! V5 U重新计算积分
' {2 `, c8 Y4 S$ P( q5 P3 B
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3 l" X0 D4 H y" L
3 Q" Q" z9 a p, V- W3 z梯形法求解链接
数值求解：% l$ m5 i8 h: Y& t5 U* I5 X8 nf = @(x) cos(15*x);
S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
* D: M+ H/ ^4 h$ \$ ~8 Y' Y' U4 F# b( k" H" g1 o
4 V* h! Y: p0 z Z0 V% m结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。& R+ e- t) @, p/ @9 S( c$ w
. X+ ~# D9 S: q, q" c8 Q% H# j( @% b* c3 k9 m; f' ^/ p1 s6 n* R9 r
例4：大范围积分
! v; G7 G/ B1 Y0 J- p
! B r) i0 o) l3 f2 o计算积分
9 e- p$ a' N+ s
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2021-2-5 10:14 上传
9 x% P9 U- Q. {' ]2 N; e( R
) h0 w9 {; T. _ B# ]f = @(x)cos(15*x);
I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20) %//数值解
syms x
I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0) %//解析解
$ U( T6 t6 m. i( z* s) Y% {) C5 v1 c7 h& z! \7 b" R
/ p/ M7 s; e2 C( K+ ^% }8 L解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306, k4 I2 k' o) P1 l. L% ?5 ~+ m
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066/ O$ x# z" H: s9 J3 i
4 K3 k# `3 J2 U+ P$ Oo0 E; n8 J( R0 B2 D" ~2 R* F
例5：广义积分的数值计算
4 H4 E3 E# T/ P, G" o D计算
, n8 @( Z% T+ Q1 K$ h# ?% [% \
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% |5 n6 G; T4 }" V
! `% o7 i- T/ U" l5 c* p: n* J, wf = @(x) exp(-x.^2);
I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20) %//数值解
syms x
I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0) %//解析解
8 q7 u% e4 c+ E% ?
9 K" O7 b. O$ V. ^/ W
8 S, U0 \+ a# a8 @解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
" o+ {# c E4 k7 m数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
- |1 V; W1 @1 c! y
H3 _' S$ j4 E( g+ e3 |3 y
2 W5 d2 p- c8 w8 J' N9 ]例6：含参函数数值积分" C3 q( q5 E+ m' @
/ { n/ S7 w) g/ j% F9 Q% q
绘制积分函数
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2021-2-5 10:14 上传
曲线( H. J* r1 _) _1 u9 h, t! @
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2021-2-5 10:14 上传
# h! s$ z' u% Y Y. a4 F& s% t
( C# v1 ~7 ]: h7 t: _2 fa = 0:0.1:4;
f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
plot(a,I), xlabel('\alpha'), ylabel('I(\alpha)')
2 g* `# [( w( w& t9 U
- @) M; n( l; G8 _. Q5 Z; o
5 H& n2 ~& r4 b
25.jpg (20.36 KB, 下载次数: 0)
2021-2-5 10:14 上传
' T1 e7 w9 i2 }# @& _: @0 {; c Y+ G
9 s4 k( S/ g6 B2 j: v
l' w2 p& q P2 M A/ B1 X