复指数与高斯函数乘积的傅里叶变换_量子力学杂谈——格林函数

一、三个关联概念

在偏微分方程中，我们遇到三个概念：解核、基本解和格林函数，它们本质上其实有很大关联但是具体定义上有一定区别。

记

为线性微分算子（允许变系数），考虑初值问题

它总是可以分解为2个问题

和

由线性方程的叠加性质，只要我们给出两个问题的解

和

，那么

就是原方程的解了。

这里我们把两个问题中的

做替换，分别令

,

，求出的解就叫做2个问题各自的格林函数。对于2个问题，我们设格林函数为

,

，那么

就是问题的解。

特别地对于常系数线性微分算子

，如果令

得出的解就叫做基本解。

设基本解为

，那么格林函数满足

，

这个时候可以用卷积形式写成

由此看来格林函数是更广泛的概念，基本解只适用于常系数线性方程。

而核函数属于积分变换的概念，对于函数空间的线性变换

,如果满足

那么

就叫

的核函数，比如傅里叶变换的核就是

，从这个角度而言，格林函数就是偏微分方程算子的逆

的核函数。

由于

是广义函数，所以格林函数通常也不一定是普通的函数，用格林函数求出的解也不一定是古典解。从这个角度来说它本质上就是

的另一种表现形式而已。

特别地对于热传递方程

的初值问题的格林函数

就被叫做热核，其中d是空间部分的维数。

二、薛定谔方程与虚时热核

自由粒子的薛定谔方程可以写为

，做代换

，可以不严格地得出薛定谔方程的“虚时热核”：

通常取

。

虚时热核与实时热核相比有很大的性质的不同，首先它不是一个施瓦茨（速降光滑）函数，因此实时热核作用的函数光滑性会瞬间提升，同时过程不可逆，也就是说反时热传递方程

对初始条件要求非常高，必须光滑，而且很可能某个时间就变成非常不光滑，甚至突然发散。

而虚时热核就比较普通了，它对函数的光滑性没有任何改善，但却可逆。用物理的话说，薛定谔方程是可以时间反演的，而热传递方程则不行，一般来说两种算子的时间演化算子：

分别构成半群和群，也就是说

成立，但是

并不合法，但是

就没有这种问题。

三、Trotter乘积公式和路径积分

对于有势能的薛定谔方程

这个时候热核就无能为力了，但是我们可以利用Trotter乘积公式：

其中要求动能和势能算子

是稠定自伴算子，哈密顿算子

稠定且本质自伴。

于是我们可以写出有势能的薛定谔方程的格林函数：

令

有：

注意指数上的部分（如果路径可微）

正好就是经典力学的作用量，因此我们可以形式地写下：

其中

是一个发散的归一化函数，

是

维勒贝格测度，它们都是发散的，但是整个极限是有意义的。

路径积分还可以从维纳测度的方式理解，但维纳测度只能讨论欧氏空间的作用量

得出方程

的格林函数，它是把

看作一个整体并严格化的结果，但是由于菲涅尔积分

在勒贝格意义下发散，从而不能看作一个测度，因此维纳测度不适用于虚时的薛定谔方程，量子力学的路径积分应当用Trotter乘积公式解释。

还有一种高斯积分的理解方式，把路经积分理解为无穷维高斯积分：

其中

整体看作一个概率测度，

为测度的二阶矩，但是这种做法会导致一个问题，可以证明任何Hilbert空间中的高斯测度的二阶矩都是核算子，即非负的迹算子，这就导致很多微分算子的逆都被否决了，同时它也不能解决虚时的问题，因此它的适用范围不大。

路径积分本身是一种非常好的方法，它也能得出正确的物理结果，但是目前它的数学基础还不够牢靠，Trotter乘积公式虽然能解决单粒子量子力学的路径积分，但是量子场论的路径积分和它作为一种计算方式的一般理论仍然是一个数学上的难题。

当年牛顿和莱布尼茨发明微积分，直到200年后魏尔斯特拉斯发明

语言，才严密起来，很多问题还要到又是100年后勒贝格提出测度论和勒贝格积分才解决，现在仍有非标准分析等其他微积分的基础理论，所以路径积分的严格化仍是一段遥远的路程。

四、有矢势的路径积分

对于具有

形式的哈密顿算子，我们已经得出了对应的薛定谔方程的格林函数，如果粒子在有矢势的系统中运动，哈密顿算子应该有：

的形式，及

，则有

，于是：

记

，则有

，从而

从而

的核函数应该为

由此可求得带矢势的格林函数为

其中曲线积分路径

取折线路径：

如果我们只考虑连续函数的路径积分，那么随着

，距离

也该变得很小，于是近似可取

或者说指数上的部分应该趋近于（如果路径可微）

这依然是系统的作用量，因此形式记法

依然可用。