两个卡方分布之和_正态分布样本均值和样本方差的独立性

前记：假期开始后，主要精力放在了科研上，最近终于抽点时间写点更新。

在数理统计的学习中，有一个重要的结论，即对于正态分布而言，样本均值和样本方差是独立的。这个结论初看起来是有些让人吃惊的，因为直观上样本方差依赖于样本均值。对此结论，很多教材一般通过构造正交变换来进行论证。但这种证明方式技巧性较强，不易于被学生理解和掌握。本文尝试对此结论给出一个简易的证明。

定理： 设随机样本

服从正态分布

，样本均值

且样本方差

，则

1. 和
   相互独立；
2. 服从
   ；
3. 服从卡方分布
   .

结论2易得，以下仅证明结论1和3。

证明： 为证明结论1，首先给出三个引理如下：

引理1：对任一

,

.

证明：注意到:

这里

从而

引理2： 对任一

,

服从二元正态分布.

证明：由引理1的证明可知：

又

服从多元正态分布，而多元正态分布的线性变换仍然是正态分布，故此引理得证。

引理3： 对于二元正态分布，协方差为0等价于独立。

证明：协方差为0等价于联合密度等于边际密度乘积等价于独立，得证。

由上述引理1—3，易知对任一

,

与

是相互独立的。而

是

的函数，故仍与

独立。结论1得证。

接下来考虑结论3。注意到

也就是

等式左边是

项独立标准正态分布的平方和，故服从

，而等式右边第二项是1项标准正态分布的平方和，故服从

。又由于等式右边的两项是相互独立的，故结论3得证。

上述证明的核心是基于多元正态分布的典型性质，即不相关和独立等价，从而我们仅需证明变量不相关即可，使得独立性的证明变得简单易懂。

另外样本均值和样本方差的独立性也可根据Basu’s theorem得到。但Basu’s theorem涉及辅助统计量和完全充分统计量等概念，在此不做详述。

本文所讨论的定理具有非常显著的统计学意义。实际上，由此定理可导出t分布和F分布等重要的理论分布，该定理是统计学中关于均值和方差的统计推断的理论基础。

本文主要参考George Casella和Roger Berger所著《统计推断》中定理5.3.1的讨论。

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