简单图论与PyG环境配置

一、简单图论

图的表示

• 图用节点表示实体（entities ），用边表示实体间的关系（relations）
• 通过邻接矩阵来构造图
• 在无向图中，从结点 $v_i$ 到 $v_j$ 的边存在，意味着从结点 $v_j$ 到 $v_i$ 的边也存在。因而无向图的邻接矩阵是对称的。
• 在无权图中，各条边的权重被认为是等价的，即认为各条边的权重为1
• 对于有权图，其对应的邻接矩阵通常被记为 $W\in \{0,1{\}}^{N\ast N}$，其中$W_{i,j}=w_{ij}$表示从结点 $v_i$ 到 $v_j$ 的边的权重。若边不存在时，边的权重为0

图的属性

• 度
  • 出度
  • 入度
• 邻接结点
• 行走
• 一个图的邻接矩阵为 $A$, $A^n$为邻接矩阵的n次方, 那么 $A^n[i,j]$ 等于从结点 $v_i$ 到结点 $v_j$ 的长度为n的行走的个数。
• 路径: 结点不可重复的行走
• 子图: 若一个图包含另一个图, 则另一个图是当前图的子图
• 连通分量: 一个图的所有结点至少存在一条路径
• 连通图: 连通图的连通分量为1
• 最短路径: 一个图的所有路径集合为 $P_{st}$, $P_{st}^{sp}$ 为最短的一条路径
• 拉普拉斯矩阵: 一个图的邻接矩阵为 $A$, 拉普拉斯矩阵为 $L=D-A$, $D=diag(d(v1),...,d(v_N))$
• 对称归一化拉普拉斯矩阵: $L=D^{-\frac{1}{2}}(D-A)D^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}$
• 度中心性: $度中心性=\frac{N_{degree}}{n-1}$ , n为节点个数
• 特征向量中心性: 结点的连接结点的中心性
• betweenness: $betweenness=\frac{经过该节点的最短路径}{其余两两节点的最短路径}$
• closeness: $closeness=\frac{n-1}{节点到其他节点最短路径之和}$
• pagerank:
• HITS:

import numpy as np
import pandas as pd
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

edges = pd.DataFrame()
edges['sources'] = [0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 1, 4, 4, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 8]
edges['targets'] = [1, 4, 4, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9]
edges['weights'] = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

G = nx.from_pandas_edgelist(edges, source='sources', target='targets', edge_attr='weights')
print('degree: ', nx.degree(G)) # degree
print('连通分量: ', list(nx.connected_components(G))) # 连通分量
print('图直径: ', nx.diameter(G)) # 图直径
print('度中心性: ', nx.degree_centrality(G)) # 度中心性
print('特征向量中心性: ', nx.eigenvector_centrality(G)) # 特征向量中心性
print('betweenness: ', nx.betweenness_centrality((G))) # betweenness
print('closeness: ', nx.closeness_centrality(G)) # closeness
print('pagerank: ', nx.pagerank(G)) # pagerank
print('HITS: ', nx.hits(G, tol=0.00001)) # HITS
nx.draw(G, with_labels=edges['sources'].tolist())
plt.show()

图的种类

• 同质图（Homogeneous Graph）：只有一种类型的节点和一种类型的边的图。
• 异质图（Heterogeneous Graph）：存在多种类型的节点和多种类型的边的图。
• 二部图（Bipartite Graphs）：节点分为两类，只有不同类的节点之间存在边。

图结构数据上的机器学习

• 节点预测: 预测节点的类别或某类属性的取值
• 边预测: 预测两个节点间是否存在链接
• 图的预测: 对不同的图进行分类或预测图的属性
• 节点聚类：检测节点是否形成一个社区

二、PyG环境配置(Mac)

• 创建虚拟环境

conda create -n env_gnn python=3.6

• 进入虚拟环境

source activate env_gnn

• 退出虚拟环境

source deactivate env_gnn

• 安装pytorch cpu版本

conda install pytorch==1.6.0 torchvision==0.7.0 -c pytorch

• 查看pytorch版本

python -c "import torch; print(torch.__version__)"
python -c "import torch; print(torch.version.cuda)"

• pip安装cpu版本的PyG

pip install torch-scatter -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.6.0+cpu.html
    MACOSX_DEPLOYMENT_TARGET=10.9 CC=clang CXX=clang++ pip install torch-scatter

pip install torch-sparse -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.6.0+cpu.html    
    MACOSX_DEPLOYMENT_TARGET=10.9 CC=clang CXX=clang++ pip install torch-sparse

pip install torch-cluster -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.6.0+cpu.html
    MACOSX_DEPLOYMENT_TARGET=10.9 CC=clang CXX=clang++ pip install torch-cluster

pip install torch-spline-conv -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.6.0+cpu.html
    MACOSX_DEPLOYMENT_TARGET=10.9 CC=clang CXX=clang++ pip install torch-spline-conv

pip install pytest-runner
pip install torch-geometric

• colab环境配置

!python -V
!nvcc --version

!pip3 install torch==1.8.1+cu111 torchvision==0.9.1+cu111 torchaudio==0.8.1 -f https://download.pytorch.org/whl/torch_stable.html > /dev/null
import torch;
torch.__version__
torch.version.cuda

!pip install torch-scatter -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html > /dev/null
!pip install torch-sparse -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html > /dev/null
!pip install torch-cluster -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html > /dev/null
!pip install torch-spline-conv -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html > /dev/null
!pip install torch-geometric > /dev/null

三、PyG中图的表示及其使用

Data 构造函数

• edge_index 的每一列定义一条边，其中第一行为边起始节点的索引，第二行为边结束节点的索引。 这种表示方法被称为COO格式（coordinate format），通常用于表示稀疏矩阵。
• PyG不是用稠密矩阵来持有邻接矩阵的信息，而是用仅存储邻接矩阵 中非元素的稀疏矩阵来表示图。 通常，一个图至少包含x, edge_index, edge_attr, y, num_nodes 5个属性，当图包含其他属性时， 我们可以通过指定额外的参数使Data 对象包含其他的属性

import collections
class Data(object):
    def __init__(self, x=None, edge_index=None, edge_attr=None, y=None, **kwargs):
        """
        Args:
        x (Tensor, optional): 节点属性矩阵，大小为`[num_nodes, num_node_features]`
        edge_index (LongTensor, optional): 边索引矩阵，大小为`[2, num_edges]`，第0行为尾节点，第1行为头节点，头指向尾
        edge_attr (Tensor, optional): 边属性矩阵，大小为`[num_edges, num_edge_features]`
        y (Tensor, optional): 节点或图的标签，任意大小（，其实也可以是边的标签）
        """
        self.x = x
        self.edge_index = edge_index
        self.edge_attr = edge_attr
        self.y = y
        for key, item in kwargs.items():
            if key == 'num_nodes':
                self.__num_nodes__ = item
            else:
                self[key] = item
    @classmethod
    def from_dict(cls, dictionary):
        """
        Creates a data object from a python dictionary.
        """
        data = cls()
        for key, item in dictionary.items():
            data[key] = item
        return data
    
    def to_dict(self):
        return {key: item for key, item in self}
    
    def to_namedtuple(self):
        keys = self.keys
        DataTuple = collections.namedtuple('DataTuple', keys)
        return DataTuple(*[self[key] for key in keys])

dict对象转Data

graph_dict = {
'x': x,
'edge_index': edge_index,
'edge_attr': edge_attr,
'y': y,
'num_nodes': num_nodes,
'other_attr': other_attr
}
graph_data = Data.from_dict(graph_dict)

Data对象转换成其他类型数据

• to_dict()

• to_namedtuple()

Data对象属性

from torch_geometric.datasets import KarateClub
dataset = KarateClub()
data = dataset[0]

print(f'Number of nodes: {data.num_nodes}') # 节点数量
# Number of nodes: 34
print(f'Number of edges: {data.num_edges}') # 边数量
# Number of edges: 156
print(f'Number of node features: {data.num_node_features}') # 节点属性的维度
# Number of node features: 34
print(f'Number of node features: {data.num_features}') # 同样是节点属性的维度
# Number of node features: 34
print(f'Number of edge features: {data.num_edge_features}') # 边属性的维度
# Number of edge features: 0
print(f'Average node degree: {data.num_edges / data.num_nodes:.2f}') # 平均节点度
# Average node degree: 4.59
print(f'if edge indices are ordered and do not contain duplicate entries.: \
      {data.is_coalesced()}') # 是否边是有序的同时不含有重复的边
# if edge indices are ordered and do not contain duplicate entries.:       True
print(f'Number of training nodes: {data.train_mask.sum()}') # 用作训练集的节点
# Number of training nodes: 4
print(f'Training node label rate: {int(data.train_mask.sum()) / data.num_nodes:.2f}') # 用作训练集的节点的数量
# Training node label rate: 0.12
print(f'Contains isolated nodes: {data.contains_isolated_nodes()}') # 此图是否包含孤立的节点
# Contains isolated nodes: False
print(f'Contains self-loops: {data.contains_self_loops()}') # 此图是否包含自环的边
# Contains self-loops: False
print(f'Is undirected: {data.is_undirected()}') # 此图是否是无向图
# Is undirected: True

图可视化

def plot_graph(edge, x, y):
    import networkx as nx
    import matplotlib.pyplot as plt
    # edge, x, y 每个维度都为2，其中第一维度是name，第二个维度是data
    # x表示的是结点，y表示的标签，edge表示的连边, 由两个维度的tensor构成
    x_np = x[1].numpy()
    y_np = y[1].numpy()
    g = nx.Graph()
    src = edge[0].numpy()
    dst = edge[1].numpy()
    edgelist = zip(src, dst)
    for i, j in edgelist:
        g.add_edge(i, j)
    nx.draw(g, with_labels=g.nodes)
    # plt.savefig('test.png')
    plt.show()

edge_index, x, y = data['edge_index'], data['x'], data['y']
plot_graph(edge_index, x, y)

Dataset类的使用

from torch_geometric.datasets import Planetoid
dataset = Planetoid(root='./input/Cora', name='Cora')
data = dataset[0]
edge_index, x, y = data['edge_index'], data['x'], data['y']
plot_graph(edge_index, x, y)

• 查看数据集

data = dataset[0]
print('num_classes: ', dataset.num_classes) # 类别个数
# num_classes:  7
print('num_node_features: ', dataset.num_node_features) # 节点属性的维度
# num_node_features:  1433
print(f'is undirected: {data.is_undirected()}') # 此图是否是无向图
# is undirected: True
print('训练集的节点个数: ', data.train_mask.sum().item())
# 训练集的节点个数:  140
print('验证集的节点个数: ', data.val_mask.sum().item())
# 验证集的节点个数:  500
print('测试集的节点个数: ', data.test_mask.sum().item())
# 测试集的节点个数:  1000

• 使用GCN训练

import torch.nn.functional as F
from torch_geometric.nn import GCNConv

class GCN(torch.nn.Module):
    def __init__(self, feature, hidden, classes):
        super(GCN, self).__init__()
        self.conv1 = GCNConv(feature, hidden)
        self.conv2 = GCNConv(hidden, classes)
    
    def forward(self, data):
        x, edge_index = data.x, data.edge_index
        x = self.conv1(x, edge_index)
        x = F.relu(x)
        x = F.dropout(x, training=self.training)
        x = self.conv2(x, edge_index)
        return F.log_softmax(x, dim=1)
 
 device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
model = GCN(dataset.num_node_features, 16, dataset.num_classes).to(device)
data = dataset[0].to(device)
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01, weight_decay=5e-4)

model.train()
for epoch in range(200):
    optimizer.zero_grad()
    out = model(data)
    loss = F.nll_loss(out[data.train_mask],
    data.y[data.train_mask])
    loss.backward()
    optimizer.step()
    print(f'epoch: {epoch}, loss: {loss.item()}')

• 验证

model.eval()
_, pred = model(data).max(dim=1)
correct = pred[data.val_mask].eq(data.y[data.val_mask]).sum()
acc = int(correct) / int(data.val_mask.sum())
print('val_mask acc: ', acc)
# val_mask acc:  0.776

• 测试

model.eval()
_, pred = model(data).max(dim=1)
correct = pred[data.test_mask].eq(data.y[data.test_mask]).sum()
acc = int(correct) / int(data.test_mask.sum())
print('test_mask acc: ', acc)
# test_mask acc:  0.81

四、作业

• 请通过继承Data类实现一个类，专门用于表示“机构-作者-论文”的网络。该网络包含“机构“、”作者“和”论文”三类节点，以及“作者-机构“和“作者-论文“两类边。对要实现的类的要求：
  • 1）用不同的属性存储不同节点的属性；
  • 2）用不同的属性存储不同的边（边没有属性）；
  • 3）逐一实现获取不同节点数量的方法。

class MyData(Data):
    def __init__(self, institution_x, author_x, paper_x, 
                 work_edge_index, public_edge_index=None, 
                 work_edge_attr=None, public_edge_attr=None, y=None, **kwargs):
        super().__init__(**kwargs)
        self.institution_x = institution_x
        self.author_x = author_x
        self.paper_x = paper_x
        self.work_edge_index = work_edge_index
        self.public_edge_index = public_edge_index
        self.work_edge_attr = work_edge_attr
        self.public_edge_attr = public_edge_attr
        self.y = y
        
    @property
    def num_nodes_institution(self):
        return self.institution_x.shape[0]
    
    @property
    def num_nodes_author(self):
        return self.author_x.shape[0]
    
    def num_nodes_author(self):
        return self.paper_x.shape[0]

五、 参考资料

• DataWhale开源学习资料：https://github.com/datawhalechina/team-learning-nlp/tree/master/GNN
• PyG官方文档：https://pytorch-geometric.readthedocs.io/en/latest/index.html