频率混叠

频率混叠

1.定义

混叠是指取样信号被还原成连续信号时产生彼此交叠而失真的现象。当混叠发生时，原始信号无法从取样信号还原。
而混叠可能发生在时域上，称做时间混叠，或是发生在频域上，被称作空间混叠。

2.分析

2.1.时域混叠

下图，图中的信号是 x(t) = cos(2πf’t)的一部分，

1. 采样SF=f’时，得到一条直流曲线
2. 采样SF=2f’时，得到一个低频三角波信号
3. 采样SF=4f’/3时，得到更低的三角波信号

采样信号不仅不能重构原信号，出现混叠频率，即采样信号不能保持原信号的频谱特性。
（简单的说，就是采样的频率太小，单位时间内的采样点不够，不足以拟合原本的信号形状，所以无法保持原信号的特征）

2.2.频域混叠

图1是采样频率低于2倍Nyquist频率时的频率图像，图2反之。
[1]

连续信号经过离散采样后，得到的离散信号的傅氏谱为原信号傅氏谱SF倍的周期延拓，如果原信号中包含的最高频率成分 ，则在离散信号谱中相应周期的谱会出现重叠。
[2]

反之，如果 ，即采样频率大于分析信号中最高频谱成分的2倍，则采样后离散信号频谱中不会出现频率混叠。

3.怎么消除

混叠本身是采样的必然效应，只不过如果混叠到原信号带宽范围内的频率成分为零的话，信号不会被破坏，也就能“完全重构”了。
采样定理的一个重要指导意义是给出了消除混叠的最低条件，消除频率混叠的途径有两种：

1. 最简单的，提高采样率：采样率越高，保留的信号特征越多。但是实际情况中，信号可能包含(0，∞）的频率，不可能无限制的提升采样率。
2. 采用抗混滤波器：在采样频率fs一定的前提下，通过低通滤波器滤掉高于fs/2的频率成分，通过低通滤波的信号则可避免出现频率混叠。
   理论上，经过理想滤波器的高于Nyquist频率的部分会被消去，不会产生混叠。但实际滤波器不可能达到理想滤波器的效果，所以实际处理过程中一般应满足下面的关系：fs=(2.5~4.0)fmax
   

4.混叠实例

一种常见的发生混叠的情况就是电影。 这是因为不断以24帧/秒的速率对变化的图像进行离散采样。 奈奎斯特抽样定理告诉我们，如果在图像平面中的任何一点出现混叠存在比fs/2 (在这种情况下为12帧/秒)更高的频率分量或光暗过渡，混叠现象就会发生。 但是在许多情况下，这个光暗的过渡可能发生得比这个更快 - 比如马车轮或螺旋桨高速旋转。
考虑一个有八个辐条车轮以3转/秒（或180rpm）的转速旋转。 在这种情况下，车轮会在每帧内移动一个辐条，因为：

因此，货车轮将看起来静止不动。 但是这种情况非常少见，因为车轮恰好按照这个速度旋转的概率非常小。
考虑如果车轮以一个低于这个数值的速率转动，比如2.5转/秒。 车轮将移动83%个辐条间距每帧。 所以，比较两个相邻的帧，我们会看到下面的现象：
人的大脑在看这些电影帧的时候会存在两个解释。 一个解释是轮子已经移动了83%沿顺时针方向轮辐间隔。 另一种解释就是它已经沿着逆时针方向移动了17%的辐条间隔。 事实证明大脑喜欢后者的解释，所以你感觉到的结果是车轮以比实际速度慢的速度向后（逆时针）移动移动。