医学图像配准 | Voxelmorph 微分同胚 | MICCAI2019

• 文章转载：微信公众号「机器学习炼丹术」
• 作者：炼丹兄（已授权）
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• 论文题目：‘Unsupervised Learning for Fast Probabilistic Diffeomorphic Registration’

0 综述

• 本文提出了一个概率生成模型，并给出了一种基于无监督学习的推理算法卷积神经网络；
• 论文中对一个三维脑配准任务进行了验证，并提供了一个实验结果；
• 论文的方法在提供微分同胚的同时，且具有最先进的精度和非常快的运行速度。

1 微分同胚

Our approach results in state of the art accuracy and very fast runtimes, while providing diffeomorphic guarantees.

这片论文提供了SOTA的配准方式，并且使用了diffeomorphic（微分同胚）。

• diffeomorphic 微分同胚

• deformation field 变形场

• ordinary differential equation （ODE） 常微分方程

• 假设两个三维图片满足：$\varphi =R^3\to R^3$,表示从一个图片的坐标到另外一个图片的坐标的变形场；

• 这个变形场的定义为:
  

• 假设我们拥有了$t\in [0,1]$的所有静态速度场，那么我们就可以integrate（整合）所有的速度场，从而从${\varphi }^{(0)}$推断出${\varphi }^{(1)}$的图片。（也就是0时刻的位移厂推出1时刻的位移场）；

关于微分同胚，经过李代数和群论的推到后的结论：

总的来说，我感觉就是对于部分图片变化太大，所以可能不存在静态位移场，所以用速度场来计算位移场。而这个微分同胚的推断，通过李代数和群论，得到的结论如下：

${\varphi }^{(1)}={\varphi }^{(1/2)}composition{\varphi }^{(1/2)}$

这部分我也不太能说明具体的含义，在voxelmorph的github代码中体现为：

class VecInt(nn.Module):
    """
    Integrates a vector field via scaling and squaring.
    """

    def __init__(self, inshape, nsteps):
        super().__init__()
        
        assert nsteps >= 0, 'nsteps should be >= 0, found: %d' % nsteps
        self.nsteps = nsteps
        self.scale = 1.0 / (2 ** self.nsteps)
        self.transformer = SpatialTransformer(inshape)

    def forward(self, vec):
        vec = vec * self.scale
        for _ in range(self.nsteps):
            vec = vec + self.transformer(vec, vec)
        return vec

重点看最后一行，vec = vec + self.transformer(vec,vec)，这个刚好对应上面的：

这一块我的理解也就止步于此，进一步的可能需要李代数和群论的知识把。

2 模型结构

2.1 简单

模型结构不复杂：

• 两个图片先做concatenate，然后输入到Unet中，然后Unet输出一个从moving到fixed图片的速度场。
  我们来看一下voxelmorph官方提供的pytorch的代码，我们只看voxelmorph模型的forward部分，完整代码链接：https://github.com/voxelmorph/voxelmorph/blob/master/voxelmorph/torch/networks.py：

我直接在代码中标记注释，来学习这个模型结构的过程。

    def forward(self, source, target, registration=False):
        '''
        Parameters:
            source: Source image tensor.
            target: Target image tensor.
            registration: Return transformed image and flow. Default is False.
        '''

        # 先把fixed和moving两个图片拼接起来，放到Unet模型中，提取中一个特征
        x = torch.cat([source, target], dim=1)
        x = self.unet_model(x)

        # 把特征转换成速度场
        flow_field = self.flow(x)

        # 对速度场做下采样
        pos_flow = flow_field
        if self.resize:
            pos_flow = self.resize(pos_flow)

        preint_flow = pos_flow

        # 这个是如果使用了双向配准的话
        neg_flow = -pos_flow if self.bidir else None

        # 微分同胚的整合
        if self.integrate:
            pos_flow = self.integrate(pos_flow)
            neg_flow = self.integrate(neg_flow) if self.bidir else None

            # 把尺寸恢复到原来的尺寸
            if self.fullsize:
                pos_flow = self.fullsize(pos_flow)
                neg_flow = self.fullsize(neg_flow) if self.bidir else None

        # 计算这个速度场作用在moving上的结果，如果使用了双向配准，则还需要把速度场反向作用在fixed图片上
        y_source = self.transformer(source, pos_flow)
        y_target = self.transformer(target, neg_flow) if self.bidir else None

        # return non-integrated flow field if training
        if not registration:
            return (y_source, y_target, preint_flow) if self.bidir else (y_source, preint_flow)
        else:
            return y_source, pos_flow

整个网络也不难理解，其实这个voxelmorph代码中已经使用了微分同胚和双向配准的方案，目前使用变分推断的prob-voxelmorph模型github仓库中作者还没有提供torch的代码，所以目前还没有这个部分。

关于voxelmorph先介绍这么多，个人的心得为：

• 微分同胚一定要有，不然很容易不收敛，建议使用默认的参数7，把一个时间间隔划分成8份；
• 双向配准的效果还不确定。