刚做完8个大作业,结束了上课生涯,十分激动,今后的学习生涯可能会困难重重,遇到困难尝尝使我怀疑人生,但只要有足够的毅力去战胜困难,像拥有科比渴望赢球的欲望,这都不是什么大问题,希望大家共勉。朋友之前说过,我的畏难情绪太过严重,经过最近的磨练,我感觉找到了一点学习的方法与乐趣,我会继续保持并跟进。
高斯消元法与高斯列主消元法的课本知识小弟不再赘述,《数值计算》课本上可以找到相应内容,或者直接百度。高斯消元法的前提是系数矩阵为非奇异矩阵,我们采用是否满秩来等效判断,若满秩,则为非奇异矩阵。在高斯消元过程中,如果遇到主元为0或者小量时,则高斯消元不再适用,应采用高斯列主消元,其核心思想是每次消元前将绝对值最大的行与主元行进行交换。代码共分为四部分:(1)系数矩阵非奇异判断;(2)高斯消元;(3)高斯列主消元;(4)代码测试与结果。
部分内容参考了同窗Zhou·X·G的思想(如方程回代部分,绞尽脑汁,可能是因为初次写逻辑性如此强的代码,我相信今后我的逻辑思维会更加敏捷),他一直是我学习的榜样,在他身上我看到了学者应该的态度与热情,在此对其表示由衷的感谢。最后欢迎各位前辈对小弟的代码进行批评指正,初来乍到,还有很多需要向各位前辈们学习。
#-*- coding:utf-8 -*-
#May 24th 2021, on Mon
#Luo·Y·T
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#高斯消元与高斯列主消元解方程
#不使用任何第三方库
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#判断系数矩阵是否为非奇异矩阵
def IsItNonSingular(A):
row = len(A) #系数矩阵行数
col = len(A[0]) #系数矩阵列数
#控制第i步,A矩阵为n阶方阵
for i in range(row-1):
#若主元元素为0,则进行行变换
if A[i][i] == 0:
#从后往前找出主元为0的列中,首个不为零的行
#对主元为0的行与此行进行行变换
Str = []
for h in range(row-1, i, -1): #添加该列所有元素
Str.append(A[h][i])
Num = col - Str.index(next(filter(lambda x: x!=0, Str)))
A[Num-1], A[i] = A[i], A[Num-1] #做行变换
#消元运算
for j in range(i+1, row, 1):
coeff = A[j][i] / A[i][i]
for k in range(i, col, 1):
A[j][k] = A[j][k] - coeff * A[i][k] #系数矩阵消元
#判断该方程组系数矩阵是否为非奇异矩阵
for i in range(row):
if A[i][i] == 0:
print("Coefficient matrix is not a nonsingular matrix.")
return 'N'
print("Coefficient matrix is a nonsingular matrix.")
def GuassElimination(A, b):
row = len(A) #系数矩阵行数
col = len(A[0]) #系数矩阵列数
ε = 1E-5 #定义一个小量
print("系数矩阵:", A)
print("常数列:", b)
#控制第i步,高斯消元需要n-1步,A矩阵为n阶方阵
for i in range(row-1):
if abs(A[i][i]) <= ε: #若主元为一个小量,则采用列主消元
return None
#消元运算
for j in range(i+1, row, 1):
coeff = A[j][i] / A[i][i]
for k in range(i, col, 1):
A[j][k] = A[j][k] - coeff*A[i][k] #系数矩阵消元
b[j] = b[j] - coeff * b[i] #对应常数列消元
#回代过程
x=[0] * col #初始化元组,用于后面存放解
x[col-1] = b[col-1] / A[col-1][col-1] #第n个解
for i in range(row-2, -1, -1):
for j in range(col-1, i, -1):
b[i] = b[i] - A[i][j] * x[j]
x[i] = b[i] / A[i][i]
print("方程组的解为:")
for i in range(col):
print("x{}:".format(i+1), '%.8f' %x[i])
print("\n")
return x
def ColumnPrincipalElimination(A, b):
row = len(A) #系数矩阵行数
col = len(A[0]) #系数矩阵列数
print("系数矩阵:", A)
print("常数列:", b)
#控制第i步,消元需要n-1步,A矩阵为n阶方阵
for i in range(row-1):
#每步运算前找出列中绝对值最大元素
#作行变换,让绝对值最大的元素行作主元
Str = []
for j in range(i, row, 1):
Str.append(A[j][i])
Num = Str.index(max(Str)) + i
A[Num], A[i] = A[i], A[Num] #行变换
b[Num], b[i] = b[i], b[Num]
#消元运算
for j in range(i+1, row, 1):
coeff = A[j][i] / A[i][i]
for k in range(i, col, 1):
A[j][k] = A[j][k] - coeff * A[i][k] #系数矩阵消元
b[j] = b[j] - coeff * b[i] #对应常数列消元
#回代过程
x = [0] * col #初始化元组,用于后面存放解
x[col-1] = b[col-1] / A[col-1][col-1] #第n个解
for i in range(row-2, -1, -1):
for j in range(col-1, i, -1):
b[i] = b[i] - A[i][j] * x[j]
x[i] = b[i] / A[i][i]
print("方程组的解为:")
for i in range(col):
print("x{}:".format(i+1), '%.8f' %x[i])
#print("\n")
return x
if __name__ == '__main__':
b1 = [1,1,1]
b2 = [1,4,1]
b3 = [1,12,13]
test1 = [[1,1,1], [1,3,4], [4,5,6]]
test2 = [[0,2,3], [4,4,4], [4,7,9]]
test3 = [[1,1,3], [7,6,4], [8,9,9]]
#python为动态语言,
#在判断非奇异矩阵过程中会改动初值
#故重新赋值
IsItNonSingular(test1)
print("test1高斯消元测试:")
test1 = [[1,1,1], [1,3,4], [4,5,6]]
GuassElimination(test1, b1)
IsItNonSingular(test3)
print("test2高斯消元测试:")
test3 = [[1,1,3], [7,6,4], [8,9,9]]
GuassElimination(test3, b3)
IsItNonSingular(test2)
print("test3高斯列主消元测试:")
test2 = [[0,2,3], [4,4,4], [4,7,9]]
ColumnPrincipalElimination(test2, b2)