使用Python解决遗传算法GA经典问题-设施集合覆盖问题

解决思路

数据处理

从数据集中可以看到，所有的数据是关于主对角线的对称矩阵。大小为58*58。

问题分析

• 例如：A ——> B的时间是15min，同理 B ——> A的时间也是15min。那么意思就是说，只要在A或者B城镇中建立一个15min的设施就能满足需求，而不是A和B都需要建造。
• 每个城镇只需要建立一个设施，让该设施能满足去其他城镇。因此设施的总数是58。（如果不存在被孤立的城镇）
• 通过迭代，找到尽可能花销少的方案。例如可以用15min的设施，绝不用20min的设施。

数据处理

• 通过问题分析第一条。那么其实可以将图表中半的数据删除掉。上三角矩阵和下三角矩阵表达的意思其实是一样的。这里我是将重复的数据设为0。
• 主对角线的元素由于等于2，这里也设为0。至于为什么，会放到后面讲。

我的思路

答题思路

1. 初始化20个样本作为父类。种群矩阵大小：20*58*58
2. 对父类矩阵进行打乱。使得其中所有样本的矩阵不是上三角矩阵或者下三角矩阵。种群矩阵大小：20*58*58
3. 父类两两之间进行杂交，杂交比例也是随机的，杂交方式为矩阵裁剪拼接。将父母两个样本进行随机同比例裁剪，然后进行拼接。生成两个后代，并对两个后代进行合理性检查。合理性检查会放在下面单独讲。将生成的后代与父类放一起。种群矩阵大小：40*58*58
4. 通过损失函数，对种群里所有的样本进行排序，保留前20个样本作为新一代种群。同时输出最优和最差样本的损失值。种群矩阵大小：20*58*58
5. 如果最优损失值和最差损失值大小相等，则进行变异。变异也放在下面单独讲。种群矩阵大小：20*58*58
6. 重复3,4,5进行迭代。

合理性检查

合理性检查指的是样本矩阵（size: 58*58）内不能同时在主对角线对策的位置同时出现数据。

例如：样本A[ i, j ]和 A[ j, i ]就是关于主对角线对应的。因为表达的意思都是城镇 i 到城镇 j 的时间，根据上文问题分析的第一条就能得到这个结论。因此如果A[ i, j ]和 A[ j, i ]都出现数据。那么需要随机删掉一个。

变异

我的变异比例是20%，将种群内所有的样本进行变异。

通过将样本矩阵（size:58*58）内的关于主对角线上对称的非0数据进行交换。

例如：样本A[ i, j ]和 A[ j, i ]就是关于主对角线对应的。此时交换A[ i, j ]和 A[ j, i ]的值，因为表达的意思不变，所以是可行的。

执行效果

500epoch

 2000epoch

 分析

其实每一次运行，结果数据都不同，不过大致都是趋于这个输出结果。这里随机运行了两次，可能存在一定偏差。

虽然从结果来看，2000次迭代的数据损失值比500次的高。但是从设施布置情况500次的可能会更加合适点。这里我就想到了是损失函数的问题。

我的损失函数的定义(对于单个样本)：

       

从损失函数，可以看到使用的方法就是方差。其实我的初衷是想让矩阵每一行的数据都近似相等。

但是这会导致另外一个问题，如果某一行只有一个数据，那么方差就为0，但是可能并不满足最优解，因此在迭代次数多了之后，这种趋势越发明显，导致过拟合。

主对角线元素为什么设为0？

上面谈到了将数据集主对角线的数据设置为0，因为主对角线的元素会影响损失函数，并且是毫无意义的。那么在最后得到的结果输出的excel中其实可以观测到很多行的最大值为0，其实最大值是2也就是本身。那么设置5min的设施就能满足要求。