【高等数学基础进阶】导数与微分

一、导数与微分的概念

1. 导数的概念

定义1（导数）
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
令$x_0+\Delta x=x$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
令$\Delta x=h$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

定义2（左导数）：
$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

定义3（右导数）：
$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

导数与$f(x_0)$以及其邻域的函数值有关，左导数与$f(x_0)$以及其左邻域的函数值有关，右导数与$f(x_0)$以及其右邻域的函数值有关

定理1：可导$\iff$左右导数都存在且相等

定义4（区间上可导及导函数）

例1：设函数$f(x)$对任意$x$均满足等式$f(1+x)=af(x)$，且有$f^{\prime }(0)=b$，其中$a,b$为非零常数，则$f^{\prime }(1)=$（）

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(1)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\\ & 为了使用f(1+x)=af(x)，用另一种也行\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{af(\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{af(\Delta x)-af(0)}{\Delta x}\\ & =a\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\\ & =a{f}^{\prime }(0)=ab\end{array}$$

2. 微分的概念

定义5（微分）：如果$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可以表示为
$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$$
则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为微分，记为
$$dy=A\Delta x$$

定理2：函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有
$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$

3. 导数与微分的几何意义

导数的几何意义：导数$f^{\prime }(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率
切线方程
$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
法线方程
$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

微分的几何意义：微分$dy=f^{\prime }(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量

![[附件/Pasted image 20220812203603.png|300]]
$\Delta y$表示曲线上的改变量，$dy$表示切线上的改变量
用微分代替函数改变量就是在微小的局部用均匀变化代替非均匀变化

4. 连续可导可微之间的关系

连续不一定可导，可导一定连续；连续不一定可微，可微一定连续。可导可微等价

例2：可导$\Rightarrow$可微

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ & \Rightarrow \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha \\ & \Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\end{array}$$
证毕

$$f(x)在x_0(的某邻域)可导\{\begin{array}{l}能推出f(x)在x_0点连续\\ 推不出f^{\prime }(x)在x_0点连续\\ 推不出\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)存在\end{array}$$

例3：$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2\sin \frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$
证明：$f(x)$处处可导，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$不存在

当$x\ne 0$
$$f^{\prime }(0)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$$
当$x=0$
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x}=0$$
显然$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$不存在

例4：设$f(x)$二阶可导，$f(0)=0.,f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=2$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-x}{x^2}$

错误解法的解释
$$\begin{array}{rlr}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-x}{x^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-1}{2x}& \\ & \underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime \prime }(x)未必存在& \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2}& \\ & f^{\prime \prime }(x)未必连续& =\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\\ & =1& \end{array}$$

正确解法
![[数学基础/高等数学/基础进阶/1.函数、极限、连续/极限#^1]]

使用原则
$f(x),n$阶可导，洛必达法则只能用到出现$f^{(n-1)}(x)$
$f(x),n$阶连续可导，洛必达法则能用到出现$f^{(n)}(x)$

例5：设$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{\lambda }\cos \frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$，其导函数在$x=0$处连续，则$\lambda$取值范围是（）

函数在$x=x_0$处连续，即$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

当$x=0$
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{\lambda }\cos \frac{1}{x}-0}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}$$
若要导函数在$x=0$处连续，首先要$f^{\prime }(0)$存在，因此$\lambda -1>0$，即$\lambda >1$，此时$f^{\prime }(0)=0$
当$x\ne 0$
$$f^{\prime }(x)=\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}+x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}$$
又$f^{\prime }(0)=0$，有$\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}+x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}=0$，得$\lambda >2$
综上$\lambda >2$

二、导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

$$\begin{array}{rl}(C{)}^{\prime }& =0\\ (x^{\alpha }{)}^{\prime }& =\alpha x^{\alpha -1}\\ (a^x{)}^{\prime }& =a^x\ln a\\ (e^x{)}^{\prime }& =e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =\frac{1}{x\ln a}\\ (\ln |x|{)}^{\prime }& =\frac{1}{x}\\ (\sin x{)}^{\prime }& =\cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =-\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& ={\sec }^{2}x\\ (\cot x{)}^{\prime }& =-{\csc }^{2}x\\ (\sec x{)}^{\prime }& =\sec x\tan x\\ (\csc x{)}^{\prime }& =-\csc x\cot x\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =\frac{1}{1+x^2}\\ (\text{arccot }x{)}^{\prime }& =-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

2. 求导法则

有理运算法则

• $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

复合函数求导法

设$u=\varphi (x),y=f(u)$可导，则$y=f[\varphi (x)]$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\varphi }^{\prime }(x)$$

设函数$f(x)$可导

• 若$f(x)$是奇函数，则$f^{\prime }(x)$是偶函数
• 若$f(x)$是偶函数，则$f^{\prime }(x)$是奇函数
• 若$f(x)$是周期函数，则$f^{\prime }(x)$也是周期函数

隐函数求导法

$$F(x,y)=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

反函数的导数

若$y=f(x)$可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数$x=\varphi (y)$也可导，且
$${\varphi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)},\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

例6：证明：$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

参数方程求导法

设$y=y(x)$是由$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},(\alpha <x<\beta )$确定的函数，则
若$\varphi (t)$和$\psi (t)$都可导，且${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$$
若$\varphi (t)$和$\psi (t)$二阶可导，且${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$，则
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)})\cdot \frac{1}{{\varphi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\varphi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime 3}(t)}$$

对数求导法

对于幂指函数，默认底数大于零

例7：设$y=(1+\sin x{)}^x$，则$dy{|}_{x=\pi }=$（）

$$\begin{array}{rl}\ln y& =x\ln (1+\sin x)\\ \frac{y^{\prime }}{y}& =\ln (1+\cos x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}\\ y^{\prime }& =(1+\sin x{)}^x[\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}]\\ y^{\prime }{|}_{x=\pi }& =-\pi \\ dy{|}_{x=\pi }& =(-\pi )dx\end{array}$$

也可以化成指数形式，即$e^{x\ln (1+\sin x)}$，用复合函数求导法

例8：设$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$，求$y^{\prime }$

$$\begin{array}{rl}\ln y& =\frac{1}{2}(\ln |x-1|+\ln |x-2|-\ln |x-3|-\ln |x-4|)\\ \frac{y^{\prime }}{y}& =\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})\\ y^{\prime }& =\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})\cdot \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\end{array}$$

三、高阶导数

定义6（高阶导数）：$y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$
$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x_0)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}\\ & =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\end{array}$$

注：如果函数$f(x)$在点$x$处$n$阶可导，则在点$x$的某邻域内$f(x)$必定具有一切低于$n$阶的导数

常用的高阶导数公式
$$\begin{array}{rl}(\sin x{)}^{(n)}& =\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ (\sin (ax+b){)}^{(n)}& =\sin (ax+b+n\cdot \frac{\pi }{2})a^n\\ (\cos x{)}^{(n)}& =\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ (u\pm v{)}^{(n)}& =u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (uv{)}^{(n)}& =\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\end{array}$$

常考题型与经典例题

导数定义

例9：已知$f^{\prime }(x_0)=-1$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=()$

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-2x)-f(x_0)}{-2x}(-2)+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-x)-f(x_0)}{-x}\\ & =-2f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0)=-1\end{array}$$

对于选择填空，可以用特殊函数法
设$f(x)=-x$，满足$f^{\prime }(x_0)=-1$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{-(x_0-2x)+(x_0-x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1$$

例10：设函数$y=f(x)$由方程$y-x=e^{x(1-y)}$确定，则$\underset{x\to \infty }{\lim }n(f(\frac{1}{n})-1)$

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }n(f(\frac{1}{n})-1)& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(\frac{1}{n})-1}{\frac{1}{n}}\\ & 注意到\frac{1}{n}\to 0，如果存在f(0)=1\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(0+\frac{1}{n})-f(0)}{\frac{1}{n}}\\ & =f^{\prime }(0)\end{array}$$
验证$f(0)=1$
$$y-0=1\Rightarrow y=1$$
进而求解$f^{\prime }(0)$
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }-1& =e^{x(1-y)}((1-y)-x{y}^{\prime })代入x=0,y=1\\ y^{\prime }(0)-1& =0\\ y^{\prime }(0)& =1=f^{\prime }(0)\end{array}$$
原式即为$f^{\prime }(0)=1$

例11：证明$f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}$在$x=0$处可导，$f(x)=\cos \sqrt{|x|}$在$x=0$处不可导

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|\sin \sqrt{|x|}-0}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|\sqrt{|x|}}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\pm \sqrt{|x|}\\ & =0\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \sqrt{|x|}-1}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}(\sqrt{|x|}{)}^2}{x}\\ & =-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}\\ & =\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2},x\to 0^{+}\\ \frac{1}{2},x\to 0^{-}\end{array}\end{array}$$

例12：设$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，则$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件；$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在不是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=f^{\prime }(a)$$
此处$-h$和定义分母中的$h$是一样的，由于$\underset{h\to 0}{\lim }$，包含正负两侧
因此$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2}[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\frac{f(a-h)-f(a)}{h}]$$
题中只说明了$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在，无法说明$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$或$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a-h)-f(a)}{h}$中任何一个存在
因此$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在不是$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件
例如$f(x)=|x|$，对$a=0$有
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|-|-h|}{2h}=0$$

复合函数、隐函数、参数方程求导

高阶导数

例13：设函数$y=\frac{1}{2x+3}$，则$y^{(n)}(0)=()$

$$\begin{array}{rl}y& =(2x+3{)}^{-1}\\ y^{\prime }& =(-1)(2x+3{)}^{-2}\cdot 2\\ y^{\prime \prime }& =(-1)(-2)(2x+3{)}^{-3}\cdot 2^2\\ y^{(n)}& =(-1{)}^{n}n!(2x+3{)}^{-(n+1)}\cdot 2^n\\ y^{(n)}(0)& =\frac{(-1{)}^{n}n!2^n}{3^{n+1}}\end{array}$$

例14：函数$f(x)=x^2{2}^x$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)=()$

$f(x)=x^2{2}^x$，令$x^2=u,2^x=v$
$$\begin{array}{c}(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\\ u=x^2,u^{\prime }=2x,u^{\prime \prime }=2,u^{\prime \prime \prime }=0\\ v^{\prime }=2^x\ln 2,v^{\prime \prime }=2^x(\ln 2{)}^2,v^{(n)}=2^x(\ln 2{)}^{(n)}\end{array}$$
代入$f^{(n)}(0)$，注意$x=0$
$$f^{(n)}(0)=C_n^2{u}^{\prime \prime }(0)v^{(n-2)}(0)=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$$

导数应用

例15：对数螺线$\rho =e^{\theta }$在点$(\rho ,\theta )=(e^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2})$处的切线的直角坐标方程为（）

转化为参数方程
$$\rho =e^{\theta }\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=e^{\theta }\cos \theta \\ y=e^{\theta }\sin \theta \end{array}$$
求导
$$\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\theta }\sin \theta +e^{\theta }\cos \theta }{e^{\theta }\cos \theta -e^{\theta }\sin \theta }\frac{dy}{dx}{|}_{\theta =\frac{\pi }{2}}=-1$$
所以方程为$x+y=e^{\frac{\pi }{2}}$

相关变化率

例16：已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1,1)$时，$l$对时间的变化率是（）

由题意知
$$\frac{dx}{dt}=v_0,l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}$$
求导
$$\frac{dl}{dt}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0{|}_{x=1}=2\sqrt{2}{v}_0$$

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