卷积定理的证明

卷积定理的证明

一、傅里叶变换的定义

连续函数的傅里叶变换：
令$f(x)$为实变量$x$的连续函数，$f(x)$的傅里叶变换以$F\{f(x)\}$表示，则表达式为：

$F\{f(x)\}=F(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-j2\pi ux}dx(3.2.1)$

式中：$j=\sqrt{-1}$ ;
傅里叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。这个名称是这样来的：用欧拉公式将(3.2.1)式中的指数项表示成下式：

$e^{-j2\pi ux}=cos(2\pi ux)-jsin(2\pi ux)(3.2.2)$

如果将(3.2.1)中的积分解释为离散项的和的极限，则显然包含了正弦和余弦项的无限项的和，而且 $u$ 的每一个值确定了它对应的正弦——余弦的频率。

$f(x)=F^{-1}\{F(u)\}={\int }_{-\infty }^{+\infty }F(u)e^{j2\pi ux}dx(3.2.3)$

若已知F(u)，则利用傅里叶反变换为式（3.2.1）和式（3.2.2），称为傅里叶变换对，如果$f(x)$是连续的和可积的，且$F(u)$是可积的，可证明此傅里叶变换存在（我不会o(╥﹏╥)o）。事实上这些条件基本总是可以满足的。

二 、卷积的定义

设$f(x),g(x)$是R1上的两个可积函数，作积分：

${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$

这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为$h(x)=(f\ast g)(x)$。即：

$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$

三、 傅里叶变换的时移(Time Shift)性质

设 $t_0,w_0$ 为实常数，$F[f(t)]=F(w)$ , 则$F[f(t-t_0)]=F(w)e^{-jw{t}_0}$。
证明：首先，根据傅里叶变换公式可得：

$F[f(t-t_0)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t-t_0)e^{-jwt}dt$

令$x=t-t_0$, 则有

$F[f(t-t_0)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-jw(x+t_0)}dx=e^{-jw{t}_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-jwx}dx=F(w)e^{-jw{t}_0}$

傅立叶变换的作用在频域对信号进行分析，我们可以把时域的信号看做是若干正弦波的线性叠加，傅立叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位。既然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改变幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于同时移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改变、但幅值不变，反映在频域上就是傅立叶变换结果的模不变、而相位改变。所以，时移性质其实就表明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化。

四、卷积定理

卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。换言之，一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如，时域中的卷积对应于频域中的乘积。
设$f_1(t)$的傅里叶变换为$F_1(w)$,$f_2(t)$的傅里叶变换为$F_2(w)$ ，那么再时域上卷积定理可以表述为

$F[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(w)F_2(w)$

相对应地，频域上的卷积定理可以表述为

$F[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(w)\ast F_2(w)$

这里证明时域上的卷积定理：
将卷积定义带入傅里叶变换公式：
$F[f_1(t)\ast f_2(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau ]e^{-jwt}dt$

$={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(t-\tau )e^{-jwt}dt]d\tau$

$={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )F_2(w)e^{-jw\tau }d\tau$

$=F_2(w){\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$

$=F_2(w)F_1(w)$