【数字信号处理 | 学习笔记】一、离散时间信号与系统

目录

1 数字信号处理

2 离散时间信号

2.1 序列

2.2 离散时间信号

3 离散时间系统

3.1 离散时间系统时域分析

3.1.1 线性非移变系统

3.1.2 线性卷积

3.1.3 LTI系统稳定性与因果性

3.1.4 常系数线性差分方程

3.2 离散时间系统频域分析 

3.2.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT） 

3.2.2 离散时间信号的傅里叶变换的性质

3.3.3 离散时间系统的频率响应

4 信号的取样

4.1 时域采样定理

4.1.1 理想采样

4.2.2 时域采样定理

4.2 信号的恢复

4.3 序列的抽取与插值

4.3.1 序列的减采样

4.3.2 序列的增采样

5 Z变换

5.1 Z变换

5.2 Z变换的性质

5.3 系统函数

5.4 全通系统和最小相位系统

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1 数字信号处理

数字信号处理：利用计算机或专用设备，以数值计算的方法对信号进行采集、变换、估值和识别等加工处理，借以达到提取信息和便于应用的目的。

信号：传递信息的函数，数学上表示为一个或多个自变量的函数。

• 连续时间信号：在连续的时间集合上有定义的信号；
• 模拟信号：时间连续，幅值连续；
• 离散时间信号：时间为离散变量的信号；
• 数字信号：时间离散，幅值离散。

2 离散时间信号

2.1 序列

离散时间信号的表示方法：序列表示法，函数表示法和图形表示法。

离散时间信号的基本运算：

• 移位：x(n-m)延时，x(n+m)超前； 
• 反转/折叠：x(n)->x(-n)；
• 序列求和与乘积{x(n)+y(n)}，{x(n)*y(n)}；
• 累加和计算：

• 尺度变换：x(n)->x(mn)抽取，x(n)=x(n/m)插值；
• 序列能量：归一化能量，表示信号在1欧姆电阻上产生的能量 

2.2 离散时间信号

1. 单位取样序列

任意序列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和：

2. 单位阶跃序列

3. 矩形序列

4. 实指数序列

5. 正弦序列

其中为数字域频率。模拟域角频率与数字域角频率的关系为：

6. 复指数序列 

• ，等幅震荡；
• ，实指数信号；
• ，，直流信号。

7. 周期序列

3 离散时间系统

3.1 离散时间系统时域分析

3.1.1 线性非移变系统

线性系统：

非移变系统：

3.1.2 线性卷积

线性卷积（离散卷积）：

即折叠、移位、相乘、相加，线性卷积满足交换律、结合律和分配律。

3.1.3 LTI系统稳定性与因果性

LSI系统稳定的充要条件：单位取样响应绝对可和

LSI系统因果的充要条件：

实际的物理可实现系统都为因果系统，并不是所有具有实际意义的系统都为因果系统。

3.1.4 常系数线性差分方程

• 常系数：a、b均为常数；
• 阶数：y(n)和x(n)项中变量序号的最大值与最小值之差；
• 线性：y(n-k)与x(n-m)项只有一次幂，且不存在相乘项。

常系数线性差分方程的解法：

• 经典解法：求齐次解、特解，并由边界条件确定待定系数；
• 递推（迭代）法：简单，适用于计算机求解，只能得到数值解；
• 变换域法：将差分方程变换到z域求解； 
• 卷积法：由差分方程求系统h(n)，与x(n)卷积得到y(n)。

3.2 离散时间系统频域分析 

3.2.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT） 

• 绝对可积，时间连续的非周期信号——傅里叶变换（FT），频率连续
• 时间连续的周期信号——傅里叶级数（FS），频率离散
• 绝对可和序列——离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）
• 周期序列——离散傅里叶级数（DFS） 

 离散时间信号的傅里叶变换：

序列傅里叶变换的收敛条件：

• x(n)绝对可和，则DTFT一定存在且连续；
• x(n)平方可和（均方收敛），也可用DTFT表示；
• 既不绝对可加，又不平方可加的序列，可定义成周期冲激串的形式。

关于DTFT的几点说明：

• 是周期为的连续函数；
•  若x(n)为实序列，在[0,]区间内幅值偶对称，相位奇对称。

3.2.2 离散时间信号的傅里叶变换的性质

• 线性
• 序列的移位

 

• 序列的调制 

 

• 序列的折叠
• 序列乘以n

 

• 序列的复共轭
• 序列的卷积
• 序列相乘
• 序列的傅里叶变换的对称性

3.3.3 离散时间系统的频率响应

频率响应：

表示系统对输出信号的加权，体现了系统对信号的处理能力。对于LTI系统，

 

4 信号的取样

4.1 时域采样定理

4.1.1 理想采样

4.2.2 时域采样定理

若要从抽样后的带限信号中不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于信号最高频率的两倍以上

离散时间信号x(n)的频谱是模拟信号频谱的周期延拓，且在频率进行了归一化。

4.2 信号的恢复

取样信号通过理想低通滤波器之后可以唯一地恢复出原信号，不会损失任何信息。

4.3 序列的抽取与插值

4.3.1 序列的减采样

4.3.2 序列的增采样

5 Z变换

5.1 Z变换

1. Z变换与傅里叶变换的关系：

可以看出，如果r=|z|=1，则Z变换就变为傅里叶变换。

2. Z变换与Laplace变换的关系：

即s平面上的轴映射成z平面上的单位圆，s平面的左半平面映射成z平面的单位圆内部，s平面的右半平面映射成z平面单位圆的外部，且s平面宽度为的水平带映射到整个z平面。

3. Z变换的收敛域：

4. Z反变换的求解方法：

• 围线积分法（留数法）
• 部分分式法
• 长除法

5.2 Z变换的性质

• 线性
• 序列移位

• 乘以指数序列 

• 序列的折叠
• X(z)的微分

• 初值定理：对于因果序列有

• 终值定理：x(n)为因果序列，且X(z)除z=1处可以有一阶极点外，其他极点都在单位圆内

• 序列卷积
• 序列的共轭
• 复卷积定理
• 帕塞瓦尔公式：在时域中计算得到的序列能量与在频域中计算得到的频谱能量相等。

5.3 系统函数

系统函数：

• LSI系统函数H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1，则系统稳定；
• 因果稳定系统的系统函数收敛域一定是，其中。

如果一个因果系统H(z)的所有极点都在单位圆内，则系统稳定。

零极点分布对幅频特性的影响：

• 极点影响幅频特性的峰值，峰值频率在极点的附近，极点越靠近单位圆峰值越高；
• 零点影响幅频特性的谷值，谷值频率在零点的附近，零点越靠近单位圆谷值越接近0；
• 处于坐标原点的零极点不影响幅频特性。

5.4 全通系统和最小相位系统

1. 全通系统：

的每一个极点有一个与之匹配的共轭倒数零点。

 2. 最小相位系统：零、极点都在单位圆内的系统为最小相位系统，且存在因果逆系统

任何系统都可以表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。

3. 相位延迟：反映载波信号的延迟

4. 群延迟：反映输出包络的延迟