向量的内积外积与其几何意义

一、点乘（内积）

有向量 $a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)$，夹角为 $\theta$，内积为：
$$a\cdot b=|a||b|\cos \theta =x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

几何意义：

1. 夹角，由 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$ 知，当内积 $>0$，$\theta <90^{\circ }$，内积 $<0$，$\theta >90^{\circ }$，内积 $=0$，$\theta =90^{\circ }$。同时也可以计算 $\theta$ 的值：$$\theta =arccos\frac{a\cdot b}{|a||b|}$$
2. 投影，$$|a|\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|b|}$$ 表示 $a$ 在 $b$ 上的投影。
   对偶性：$a\cdot b=|a|(|b|\cos \theta )=|b|(|a|\cos \theta )$
   $|a|(|b|\cos \theta )$ 的理解是 $a$ 的长度与 $b$ 在 $a$ 上的投影的乘积；
   $|b|(|a|\cos \theta )$ 的理解是 $b$ 的长度与 $a$ 在 $b$ 上的投影的乘积；
   而这两个是相等的。

二、叉乘（外积）

上面的公式，就是求三阶行列式。

几何意义：

1. 上面如果不把 $i,j,k$ 的具体指带入公式，而是写成 $a\times b=mi+nj+lk$ 的形式，向量 $(m,n,l)$ 就是一个同时垂直 $a$ 和 $b$ 的向量，如下图：
   
2. 对于二维向量，$a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)$，按照上面的公式得：
   $a\times b=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|=x_1{y}_2-x_2{y}_1$，设这个数值为 $m$。
   则，$|m|=|a\times b|=|a||b|\sin \theta$ （$\theta$为 $a$ 和 $b$ 的夹角）
   且，|m| = $a$ 和 $b$构成的平行四边形的面积 ，如下图：
   
3. 判断向量的相对位置（顺逆时针）
   $a$ 和 $b$ 如图所示：

如果让 $a$ 以最小角度转到 $b$ 的方向，是顺时针还是逆时针呢，从图中很容易看出，但怎么用数字判断呢？
仍然是 $m=a\times b=x_1{y}_2-x_2{y}_1$，
当 $m>0$，$a$ 逆时针转到 $b$ 的角度 $<180^{\circ }$，
当 $m<0$，$a$ 逆时针转到 $b$ 的角度 $>180^{\circ }$，
当 $m=0$，$a$ 和 $b$ 共线。

直观记忆如下图：

$m>0$，$b$ 在蓝色部分；
$m<0$，$b$ 在红色部分；
$m=0$，$b$ 在分界线上（与 $a$ 共线 ）。

三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）

我们平时默认的坐标系是这样的：

但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：

可以发现，同样的 $a=(2,1)$ 转到 $b=(1,2)$ ，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 $x$ 轴旋转到 $y$ 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
当 $m>0$，$a$ 正旋转到 $b$ 的角度 $<180^{\circ }$，
当 $m<0$，$a$ 正旋转到 $b$ 的角度 $>180^{\circ }$，
当 $m=0$，$a$ 和 $b$ 共线。
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。