向量的内积与外积

向量的内积与外积

向量的内积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

设a、b为非零向量，则
①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a||e|cosθ
②a⊥b=a·b=0
③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b| ；a·a=|a|^2 = a ^2或|a|=√a·a
④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立
⑤cosθ=a·b╱(|a||b|)（θ为向量a.b的夹角）
⑥零向量与任意向量的数量积为0。

平面向量内积的几何意义:

①一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。
②a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。
③数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

向量的外积

把向量外积定义为：
|a ×b| = |a|·|b|·sin.
方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a转向b的过程中，大拇指的方向就是外积的方向。
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
向量外积的坐标表示:有向量a和向量b,
那么a×b为:
其中:
所以:

向量外积的几何意义:
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
在二维空间中,两个向量外积模的几何意义是:|a ×b|表示为以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。